数列の収束の条件?

言語
http://hunter2world.doorblog.jp/archives/20377434.html
広告

 以下の文章は数列の収束の条件?に対する俺の脳の運動に関する生物的な記録である。以下の文章は数列の収束の条件それ自体に関する文章でない。数学に関する文章を見たい場合、宗教的なwebsiteで数学を学ぶのでなく、大学へ行くか、専門書を購入しなさい。怪しい話を好むならば、このwebsiteを楽しんで。

広告

1章 数列の収束の条件?

 数列の収束の条件?:数列が存在して、その数列[An]が収束すると仮定する。もし1つの自然数n(ε)が任意の正の実数εに関して定まり、かつnがn(ε)よりも大きく、かつmがn(ε)よりも大きいならば、その数列[An]のn項とその数列[An]のm項の差(の(絶対値))はεよりも小さい。

 数列が存在して、その数列[An]が収束すると仮定する。その時、任意の正の実数εに関して、1つの自然数n(ε)が定まる。そして、もしnがn(ε)よりも大きく、かつmがn(ε)よりも大きいならば、その数列[An]のn項とその数列[An]のm項の差(の(絶対値))はεよりも小さい。

また、任意の正の実数εに関して、1つの自然数n(ε)が定まる。そして、もしnがn(ε)よりも大きく、かつmがn(ε)よりも大きいならば、その数列[An]のn項とその数列[An]のm項の差(の(絶対値))はεよりも小さい。これを仮定する時、その数列[An]が収束する。

おそらく、ある数列が与えられた時、俺らはその数列が収束するかをとりあえず知りたい。俺らは極限値が何であるかの前に、俺らは数列が収束するかを知りたいのかもしれない。詳細は不明であるが、もしある数列が収束しないのに、極限値を求めるために必死で計算するならば、その行為は時間の無駄である。この種の無駄を回避したいのかも。

1節 具体例?

 数列[An]を1/nと置く。俺らがεを0.1と置く時、n(ε)は10であるかもしれない。今、俺らがnとmを11と取る時、(1/11)ー(1/11)<0.1である。(1/11)ー(1/11)は0であるので、この不等式は成立する。

俺らがnを11、mを12と置く時、(1/11)ー(1/12)<0.1である。(1/11)ー(1/12)=1/132であるので、この不等式は成立する。次に、俺らはnを11、mを大きな数一兆と置くとき、1/11から1/一兆というほんの少しの数を差し引いたもを考える。そもそも、1/11<0.1であるので、ほんの少しの数を1/11から引くとしても、この不等式は成立する。

εを小さくしていって、同じ操作を繰り返す。上記の具体例が必要条件であるのか、十分受験であるのかは不明である。数列が収束すると仮定してしまうと、[An]のn項とその数列[An]のm項のうち、よりn(ε)に近い[An]のn項それ自体がすでにεよりも小さい。だから、振動や発散を無視する時、εよりも小さい[An]のn項からさらにεよりも小さい[An]のm項を引くことになるので、その数列[An]のn項とその数列[An]のm項の差はさらに小さくなるように感じる。

 俺の勝手な印象では、十分条件が難しく、俺にとって意味不明である。なぜなら、たとえ俺らがεよりも小さい[An]のn項のnを取るとしても、もしmが振動したり、急激に大きくなるような項(値)であるならば、その時、その数列[An]のn項とその数列[An]のm項の差がεよりも大きくなるかもしれない。

つまり、それは収束していないかもしれない。だから、「もしnがn(ε)よりも大きく、かつmがn(ε)よりも大きいならば、その数列[An]のn項とその数列[An]のm項の差(の(絶対値))はεよりも小さい」という文章が数列の収束を導くために置かれるのかもしれない。

2節 十分条件の証明?

 「任意の正の実数εに関して、1つの自然数n(ε)が定まる。そして、もしnがn(ε)よりも大きく、かつmがn(ε)よりも大きいならば、その数列[An]のn項とその数列[An]のm項の差(の(絶対値))はεよりも小さい。」を仮定する。俺らは実数の切断を作り、それにより極限値になる最大値または最小値の存在を明らかにする。その後、定理1の12を使用して、数列の収束を証明する。

次に、α≦pになるnが有限個しかないような実数p全体の集合Aとその補集合A’(α≦qになるnが無限にある実数q全体の集合)を考える。数列[An]が1/nの場合、pは負であるので、α≦負であり、対応するnは存在しない。数列[An]が1/nの場合、qは正であるので、α≦正であり、対応するnは無限に存在する。この時、集合p全体の集合Aは負の実数であり、補集合A’は正の実数である。

この時、pは集合Aに属して、qは集合A’に属するならば、pはqよりも小さい。実数の切断のためには、集合と補集合が空でないことを証明する必要がある。黄色の下線部のεを1と置く時、もしnがn(1)よりも大きく、かつmがn(1)よりも大きいならば、その数列[An]のn項とその数列[An]のm項の差(の(絶対値))は1よりも小さい。つまり、/AnーAm/<1であり、1<AnーAm<1と変形して、Amー1<An<Am+1である。俺らがAm+1をqと置き、Amー1をqとおく時、そのqはqは集合A’に属して、そのpは集合Aに属する。

 その時、集合Aと集合A’は空集合でないので、二つの集合は切断であると言えるらしい。実数の切断から、俺らは集合Aと集合A’に、極限値となる最大値や最小値が存在することを予想する。次に、定理1の12を使用して、任意の実数pとqに関して、p<α<qであるならば、、p<数列An<qが有限後の自然数を除いて成立することを言えれば、定理1の12により、数列が証明されるらしい。

pはαよりも小さいと設定してあるので、pは集合Aに属する。したがって、集合Aの設定により、数列AnがAn≦pであるのは、有限個しか存在しない。したがって、その有限個を除くと、p<Anが成立する。Anが1/nの場合、数列AnがAn≦p(負)であるのは存在しないので、p(負)<An[1/n]が成立する。

定理1の12の設定により、α<qである。有理数の稠密性により、α<r<qである有理数rが存在する。qからrを引いたqーrをεと置くと、黄色の下線部により、もしnがn(ε)よりも大きく、かつmがn(ε)よりも大きいならば、その数列[An]のn項とその数列[An]のm項の差(の(絶対値))はε(=qーr)よりも小さい。

また、rは集合A’に属する。そして、集合A’の設定により、rは無数のmについて数列[An]のm項がr以下である。この時、m>n(ε=qーr)となるmを定める時、AnーAm<qーr、Am≦rであり、変形させると、An+(rーAm)<q、0≦rーAmである。(rーAm)は0以上であるので、差し引いても、不等式:An<qが成立する。

 したがって、定理1の12が成立する。不等式:p<An<qにより、数列Anは収束するらしい。おそらく、俺らは定理1の12を適用して、数列の収束を証明したい。そのためには、極限値のあたりを実数の切断による最小値と最大値でつける必要がある。その最大値と最小値に関して、p<その値<qを証明できるならば、その時、定理1の12のp<数列An<qが導かれて、結果として数列の収束も証明される。

ちなみに、俺は高々有限個しかないという表現を理解できなかった。p<極限値<qならば、p<数列An<qが有限個の自然数を除いて(無限に)成立する。p<数列Anが有限個の自然数を除いて(無限に)成立する時、数列An≦pやp≦数列Anは有限個の自然数で成立するかも。

また、「rは無数のmについて数列[An]のm項がr以下である」の意味がわからなかった。Am≦rの時、この項は不等式によって適切に制御されているように感じた。その時、たとえ俺らがnを取り、さらにmを取るとしても、Am≦rを使って、その差がεに収まる、つまり/AnーAm/<εなるようにできるのでないかを感じた。/AnーAm/<εだけだと、nを取るとしても、Amがきちんと制御できているか不明であるので、異なる制御する不等式が必要なのかもしれない。いまいちよくわからないので、書き直す。

2章 数列の収束の条件は証明になっているか?

  数列の収束の条件?:もし1つの自然数n(ε)が任意の正の実数εに関して定まり、かつnがn(ε)よりも大きく、かつmがn(ε)よりも大きいならば、その数列[An]のn項とその数列[An]のm項の差(の(絶対値))はεよりも小さい。

 上記を仮定するとき、その仮定から、十分条件として、数列の収束が導かれるらしい。俺らが「1つの自然数n(ε)が任意の正の実数εに関して定まり、かつnがn(ε)よりも大きく、かつmがn(ε)よりも大きい」をPと置き、「その数列[An]のn項とその数列[An]のm項の差(の(絶対値))はεよりも小さい」をQと置くとき、上記はP→Qである。このP→Qを仮定するとき、数列の収束が本当に導かれるのだろうか?

例えば、俺らがn項と極限値のみを考える時、もし俺らがnをn(ε)よりも大きくとる時、n項と極限値の差はεよりも小さくできた。しかし、上記の場合、たとえもし俺らがnをn(ε)よりも大きくとるとしても、m項が急激に大きくなったり、小さくなるとき、俺らはn項とm項との差の絶対値をεよりも小さくできない。だから、俺らはm項を制御する式、おそらく不等式が必要になるように感じる。

もしm項が極限値それ自体であるならば、上記の条件は数列の収束の定義に帰着されて、上記の条件から収束が導かれるように感じる。もしm項がn項自体であるならば、差は0であるので、上記の条件は成立する。現実的には、俺らはm項を極限値よりも少しだけ大きい(または以下)が任意の実数よりも小さいと設定したい。つまり、「極限値α<m項<極限値よりも少しだけ大きいr<非常に小さい実数q」としたい。

 この時、俺らはm項を制御できて、上記の条件から収束を導けそうと感じる。つまり、上記の条件と新たな不等式を獲得する時、俺らは十分条件を証明できるかもしれないと感じる。(続くか書き直す)

1節 小平本

 小平本では、次のようになっていた(詳しくは彼の本をみて)。しかし、俺はこの本の仮定?に強烈な違和感を覚えた。小平本では、定理1.12を適用するために、実数αと実数pとqを取り、αがp以下であるnが高々有限個存在する実数pの集合とαがq以下であるnが無数に存在する実数の集合qに分割した(例えば、数列が1/nで極限値が0だと、αが0以下であるnが高々有限個存在する実数pの集合は負の実数?αが0以下であるnは存在しないので、nは多くても有限個が、-10や-√2は実数pの集合に含まれるはず。俺の認識が間違いでなければ…)。

その後、それが実数の切断になっていることを明らかにした後、定理1.12の仮定を整備して、定理1.12を適用して、収束の十分条件を証明していた。しかし、数列の収束の十分条件を証明するために、αがp以下であるnが高々有限個存在する実数の集合を取れると仮定することは間違いであるように感じる。

なぜなら、集合を取れることは俺らがすでにその数列が収束するかを知っていることを暗に仮定しているように見える。実際、俺らはαがp以下であるようなnが高々有限個であるを知れるとき、俺らはその数列がすでに収束するかを知っている。数列が収束するかを証明する時、数列がすでに収束すると仮定することは間違いであるように感じる。後で、書き直す。

2節 極限値α<m項<極限値よりも少しだけ大きいr<非常に小さい実数q

 qーr=εと置く時、極限値α<m項<r<r+εになり、定理1.12を適用できるように見える。俺は数列のm項の大きさを抑える不等式がどこから出てくるのかを知りたいと感じる。数列の収束を導くためには、上記の括弧内の条件以外にも何かが必要であるように見えた。

当然、人間が高々有限個を数えれると仮定するならば、俺は上記の証明に納得する。ただ、もし上記の条件が数列の収束を判定することが目的であるならば、その時、高々有限個を数えれると仮定して良いのかと感じる。