数列の極限っぽい何か〜ページめくり〜

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 以下の文章は数列の極限に対する俺の脳の運動に関する生物的な記録である。以下の文章は数列の極限それ自体に関する文章でない。数学に関する文章を見たい場合、宗教的なwebsiteで数学を学ぶのでなく、大学へ行くか、専門書を購入しなさい。怪しい話や間違いを好むならば、このwebsiteを楽しんで。

今、半径1の球体(または円)を考える。この球体を縮小させて、半径を0にしたい。半径1の球体(または円)を一ページ目に置く。半径0の球体を無限ページ目に置くと仮定する。

2ページ目の半径を1/2、3ページ目の半径を1/3、nページ目の半径を1/n…とする(球体の体積の計算は知らない)nを大きくする時、半径は0になるのだろうか?視覚的には、球体は無になるのだろうか?俺らは数列を無限ページの書籍と考えて、それぞれのページには球体が書かれてる様子を想像しよう。

なお、絶対値やAnとαとの差などは無視した。半径1/nが0になるかを球体の体積に置き換えてみた。

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1章 極限?

 極限?:俺らが微小な球体の体積ε(または微小な半径)を指定するとき、それに対応したページn(ε)が定まる。もし俺らがそのページn(ε)よりも大きなページを取るならば、そのページの中の微小な球体の体積はεよりも小さい。この時、nを無限にすれば、球体は無になるだろう。

 俺らが微小な球体の体積ε(または微小な半径)を指定するとき、それに対応したページn(ε)が定まる。もし俺らがそのページn(ε)よりも大きなページを取るならば、そのページの中の微小な球体の体積はεよりも小さい。この時、nを無限にすれば、球体は無になるだろう。

例えば、俺らが砂のような小さな球体、体積εを指定する時、その体積に対応する球体のページn(ε)が定まる。もし俺らがそのn(ε)よりも大きなページnをとり、そのページnに対応する球体(原子)の体積がεよりも小さいならば、良い?。

俺らが素粒子のような小さな球体、体積εを指定する時、その体積に対応する球体のページn(ε)が定まる。もし俺らがそのn(ε)よりも大きなページnをとり、そのページnに対応する球体の体積がεよりも小さいならば、良い?。これを続けられるならば、球体は無に収束するだろう?

1節 例え?

 それぞれの球体に対応するページを大きくする時、その球体は無(0)になるのだろうか?たとえ俺らがどんなに小さな球体εを指定するとしても、その球体に対応するページよりも大きなページをとる(めくる)時、もしそのページに書かれた球体がどんなに小さな球体εよりも小さいならば、その球体は無(0)になるかもしれない。

俺らが微小な球体の体積ε(または微小な半径)を指定するとき、俺らはその体積εよりも小さなaを取る。数列[1/n]<a<εという不等式を作るとき、「n>aを持つ数式」という不等式が生じる。「n>aを持つ数式」をn(ε)と置き、n(ε)>aを持つ数式と作る。この時、俺らがn>n(ε)>aになるようなnを取るならば、数列の項と極限値との差の絶対値がεよりも小さくなる。

ちなみに、俺はなぜaを取るのかわからなかった。εは正の実数であり、aは有理数であったらしい。「n>aを持つ数式」が「n>εを持つ数式」になると、εを持つ数式が実数になるのが問題であるのかも…。まだ、有理数列による実数の定義が実行されていない。あるいは、実数であるとき、数列Anー極限値<εにならないnの撮り方が生じるのかも。

2節 具体例?

 数列をAn=[1/n]とする。極限値を0と仮定する時、ある項と極限値との差の絶対値は(1/n) ー0である。俺らがある微小な実数εを取る時、その実数εよりも小さな有理数aが存在して、それは0よりも大きく、実数εよりも小さい。つまり、0<a<ε。

今、俺らは(1/n) ー0がεよりも小さくなって欲しい。つまり、俺らは(1/n) ー0<εを欲しい。俺らはεよりも小さなaを使用して、(1/n) ー0<a<εを欲しい。aはεよりも小さいので、(1/n) ー0<aという不等式が得られれば、εに関する不等式も成立するかもしれない。

(1/n) ー0<aとすると、n>1/aである。実数εに対応するnをn(ε)と置くとき、n(ε)≧1/aである。n>n(ε)≧1/aならば、(1/n) ー0<εである。おそらく?、n>n(ε)≧1/aならば、(1/n) ー0<a<εである。俺の印象では、具体的な計算では、(1/n) ー0<εを獲得するために、(1/n) ー0<a<εなるaを使用して、具体的な不等式を構成する必要があるのかも。

2章 定理?

 定理?:数列[1/n]が存在して、その数列が極限値(0)へと収束すると仮定する。俺らがp<極限値(0)<qなる実数p、qをとるならば、不等式:p<数列[1/n]<qが有限個の自然数を除いて成立する。

 数列[1/n]が存在して、その数列が極限値(0)へと収束すると仮定する。俺らがp<極限値(0)<qなる実数をとるならば、不等式:p<数列[1/n]<qが有限個の自然数を除いて成立する。

数列[An]が存在して、その数列が極限値(α)へと収束すると仮定する。俺らがp<極限値(α)<qなる実数をとるならば、不等式:p<数列[An]<qが有限個の自然数を除いて成立する。

おそらく、上記の定理?はもしある数列が収束するならば、何が言えるのかを考えたいように思える。上記は数列が極限値に収束するための必要かつ十分な条件であるらしい。極限値に関する不等式から、数列(数列の項)に関する不等式が導かれているように見える。

1節 怪しい何か…

 pを0.1と置き、qを-1と置く。その時、「p=-1<極限値(0)<0.1=q」である。極限値とqとの差をε(0.1)置くと、p=-1<極限値(0)ーε<極限値(0)+ε≦ 0.1=q

数列[1/n]は極限値(0)へと収束すると仮定しているので、ε(0.1)に関して極限の定義を適用する。すると、俺らがn>n(ε=0,1)になるようなnを取るならば、数列[1/n]ー極限値(0)の差の絶対値はε=0,1よりも小さくなる。/数列[1/n]ー極限値(0)/<ε=0,1

/数列[1/n]ー極限値(0)/<ε=0,1を変形させると、数列[1/n]<極限値(0)+ε=0,1となる。極限値(0)+ε≦ 0.1=qなので、数列[1/n]<0.1=qが得られる。除去される有限個の自然数はおそらく1から10あたりまで。

 数列が収束して、極限値がαであるならば、その極限値を実数pとqを使い、p<極限値<qのように挟むならば、書籍のページ数を大きく取る時、数列Anがp<数列An<qになるようにすることができるかもしれない。正直、俺は上記の定理?の意味を把握できなかった。

書籍の中の球体が無限ページ目に0になるとわかっていると仮定する。例えば、俺らが素粒子の大きさpと負の球体の大きさ(q=-1)で挟むと仮定する。もし俺らが素粒子の大きさpに対応するページn(ε)よりも大きなnを取るならば、nページ以降の数列の項を素粒子の大きさpと負の球体の大きさ(q=-1)で挟むことができるかもしれない。振動している場合は知らない。

2節 逆?

 逆に上記を仮定して、数列が収束して、極限値になるかを知りたい。俺らがp<極限値(α)<qなる実数をとるならば、不等式:p<数列[An]<qが有限個の自然数を除いて成立する。この時、数列[An]が極限値(α)に収束するかを知りたい。

不等式:数列[An]<qが有限個の自然数を除いて成立する。qを極限値+εを仮定すると、数列[An]<qは数列[An]<極限値+εである。すると、数列[An]ー極限値<+εであり、数列[An]ー極限値<+εは有限個の自然数、1、2、…、nを除いて成立する。nをn(ε)と置くと、n(ε)よりも大きなNをさらにとれば、N>n(ε)→[An]ー極限値<+εになる。

例えば、無限ページの書籍の中の球体が素粒子の大きさqよりも小さいことが有限ページを除いてそれ以降で成立する。大きさqを体積0と素粒子の大きさεの和とみなす。素粒子の大きさεに対応するページよりも大きなページをとれば、俺らは球体(球体の大きさと極限値の差)を素粒子の大きさεよりも小さくできるかも。

3節 極限値の数

 数列[An]の極限値の数が2つ(αとβ)と仮定する。α<βとすると、α<r<βであるrが存在する。この時、上記の定理により、p<α<r、r<β<zであるならば、p<数列[An]<r、r<数列[An]<zが有限個の自然数を除いて成立するはずである。

しかし、有限個の自然数を除いて数列[An]<rが成立する。そして、有限個の自然数を除いてr<数列[An]が成立する。この時、無限個の自然数について、数列[An]<rとr<数列[An]が成立する。これが矛盾である。

3章 商品の値段と極限

 俺らが時間と商品の値段の関係を考える時、俺らは数列の極限を使用するかもしれない。より安く収束するならば、俺らは商品を後で購入する。より高く収束するならば、俺らは商品を今購入する。

実際、ビールの値段は収束して、ある値へと近づいていくように見える。商品数列をPnと置く。俺らがある微小な値段εを取る時、その値段に対応するn(ε)が存在する。もし俺らがn>n(ε)となるようなnを取るならば、その時、商品数列Pnと値段の極限値の差は微小な値段εよりも小さくなる。

計算的には、俺らがある微小な値段εを取る時、俺らは0<a<εとなるaを考える。その後、/商品数列Pnー極限値α/<aとなる不等式を解いて?、n>「aを含む数式」という数式に変形する。そのnを適切なn(ε)と仮定すると、俺らはn(ε)よりも大きなNとって、/商品数列Pnー極限値α/<εを導く。

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