有理数による実数の近似と有理数列?

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 以下の文章は有理数による実数の近似と有理数列?に対する俺の脳の運動に関する生物的な記録である。以下の文章は有理数による実数の近似と有理数列それ自体に関する文章でない。数学に関する文章を見たい場合、宗教的なwebsiteで数学を学ぶのでなく、大学へ行くか、専門書を購入しなさい。怪しい話を好むならば、このwebsiteを楽しんで。

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1章 有理数による実数の近似

 有理数による実数の近似:nは(大きな)自然数である。αは実数であり、任意である。aがαよりも小さく、かつαがaと1/nの和以下である有理数aが存在する。

 俺が上記の文章を見た後、俺は文章の意味を把握できなかった。上記は実数を有理数で近似できることを述べているらしい。おそらく、俺らが非常に大きなnを取る時、1/nは砂つぶのように小さくなる。

この時、aと微小な数の和はほぼaであるとみなせる。だから、俺らは上記の文章で実数を有理数で近似することができる。俺らが非常に大きなnを取る時、俺らは近似の意味をなんとなく把握できるように感じた。

a<α≦a+dxのような不等式を作れる時、俺らは実数αを有理数aで近似できるように感じる。例えば、実数αを√2と仮定するとき、自然数mを大きく取るならば、√2に非常に近い有理数aを用意することができる。

2章 有理数列

 有理数列:任意の実数に対して、その実数に収束する有理数列が存在する。

 上記の近似を利用すると、それぞれの項に対して、Anがαよりも小さく、かつαがAnと1/nの和以下である有理数Anが存在する。

任意の実数εを考える時、0がrよりも小さく、rがεよりも小さい有理数rを取ることができる。また、近似の式により、αとAnの差は1/nの和以下である。

 俺らはαとAnの差は1/nの和以下であり、1/nがrよりも小さく、rがεよりも小さな不等式を作りたい。なぜなら、俺らがrに対応するNよりも大きなnを取るならば、数列の収束の定義を使用して、有理数列の収束を示すことができる。

1/Nがrよりも小さい時、1/rはNよりも小さい。このNをN(ε)またはN(r)と定める。俺らがこのNよりも大きなnを取るならば、αとAnの差は1/nの和以下であり、1/nがrよりも小さく、rがεよりも小さな不等式が実数αへと収束する。

1節 直感?

 αとAnの差は1/nの和以下である不等式が存在する。もし俺らがnを無限に大きくするならば、その時、その不等式は0になるように感じる。だから、実数αは有理数列で近似できるように感じる。

さらに、前に、俺らは数列1/nの極限値0を求めた。もしn(ε)よりも大きなnを取るならば、数列1/nと極限値0の差はεよりも小さいことがわかっているので、1/n以下であるαとAnの差もεよりも小さくなるように感じる。