デデキントの切断は実数の定義や構成になっているのか?

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 俺は実数の切断が何であるかを理解していないと述べておく。俺が実数の切断に関する文章を読んだ後、俺は実数の切断(デデキント)は実数の定義や構成になっていないように感じた。当然、俺の勉強不足が考えられるが、その不足を考慮するとしても、俺は強烈な違和感をこの定義?や構成?に覚える。

また、実数が切断で定義される時、有理数の稠密性(density)が既知とされていた(小平邦彦の解析入門によると)。加えて、有理数の大きさや大小や不等式に関する説明も詳細には定義されていなかった。以下では、俺は自分で何を書いているのかわかっていないと言っておく。

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背景

密林

 目的:俺らは数の集合(森林)が密になっているのか知りたい。

 数の集合を森林と仮定する。数それ自体が一本の木に対応する。この時、俺らは数の集合が密林になっているのかを知りたい。

例えば、俺らは整数の森林(集合)が密林になっているのかを知りたい。俺らは有理数の森林(集合)が密林になっているのかを知りたい。俺らは実数の森林(集合)が密林になっているのかを知りたい。

俺らが森林を外部から観察する時、俺らは整数の森林(集合)が密になっていないことを想像することができる。二番目の木と三番目の木の間の隙間それ自体は森林それ自体(数の集合)に含まれていないとか仮定する。言い換えると、それぞれの整数は一つの宇宙空間(部屋)であり、その部屋は二つの扉を持っている。左の扉を開けると、小さな整数の部屋へ行き、右の扉を開けると、大きな整数の扉へと行く。

デデキントの切断

有理数の切断

 有理数の切断:有理数の切断とは、有理数の集合Aと集合A’の組みであり、その組みは次の条件を満足する。条件(1):有理数rは集合Aの要素であり、かつ有理数sが集合A’の要素であるならば、有理数rは有理数sよりも小さい。条件(2):有理数rが集合Aの要素であるならば、有理数rよりも大きく、かつ集合Aの要素である有理数tが存在する。

 集合Aと集合A’の和集合は有理数全体の集合である。集合Aと集合A’の共通部分は空である。集合A’は有理数全体の集合QにおけるAの補集合である。言い換えると、俺らが集合Aを定める時、補集合は一意的に定まる “らしい“。

実数とは、有理数の切断である。有理数の切断には、2種類が存在する。一番目は「集合A’に属する最小の有理数は存在しない」である。二番目は「集合A’に属する最小の有理数は存在する」である。一番目の切断が無理数であり、二番目の切断が有理数である。

二番目の切断において、俺らは最小の有理数をaと置く。この時、有理数rは有理数aよりも小さい。有理数sは有理数aよりも大きい、または有理数sは有理数aに等しい。よくわからない。実数を構成する時に、すでに実数の存在が仮定されているように感じる。極限による定義の方が自然に見える。

森林で例えると…

 実数直線を森林で例えると、想像しやすい。0の木と1の木と2の木…を植えていく。反対方向に、-1の木と-2の木を植えていく。一歩奥の方に、1/10の木と2/10の木…を植えていく。さらに、2歩奥の方に、1/100の木と2/100の木…を植えていく。

その後、俺らはこの深い森林を左右に分割する。上記のように、もしある木rが左の森林に属していて、かつ別の木sが右の森林に属しているならば、その時、木rは木sよりも左(小さい)である。また、左の森林には、最大の木は存在しないように分割される。

右の森林に最も左(小さい)木が存在する時、左右の森林は有理数である。右の森林に最も左(小さい)木が存在しない時、左右の森林は無理数であるらしい。集合の組みによる実数の定義に対する違和感は森林の組みが木それ自体に対応させるような違和感である。俺にとって数は木それ自体であり、左右の森林の組みに対応する何かでない。

整数の場合

 整数のみからなる森林を想像する。その後、俺らはその森林を分割する。俺らが整数の森林を分割するとき、俺らは整数の木を基準にして分割する場合と木と木の間の空間を基準にして分割する場合を考えることができる。

俺らはある木rが左の森林に所属するならば、その木rは右の森林に所属する木sよりも左(小さい)と言える。しかし、俺らは左の森林には、最大の木は存在しないように分割することができない。整数の場合、俺らは右へと植林できるが、奥へと植林できない。

上記の条件1の問題は、おそらく森林が大小順に整列させたかったのだろう。整数の森林が「ぎっしりと詰まっているのか」は俺にはよくわからない。整数の森林を分割するとしても、左の森林は最大値(一番右にある木)をもち、かつ右の森林は最小値(一番左にある木)を持つ。けれども、詰まっていない感じがする。

実数の大小

大小の定義

 大小の定義?:実数の大小は二つの有理数の切断における二つの集合の含有関係で定義される。

 実数の大小は二つの有理数の切断における二つの集合の含有関係で定義される。2つの有理数の切断(αとβ)を集合Aと集合A’の組みと集合Bと集合B’の組みと置く。この時、もし集合Aが集合Bの部分集合であるならば(ただし、等しくない)、その時、αはβよりも小さい。βはαよりも大きい。

実数の3つの関係性

 実数の3つの関係性:二つの実数αとβは「実数αは実数βよりも小さい」か「実数αは実数βに等しい」か「実数αは実数βよりも大きい」のいづれかが成立する。

 集合Aが集合Bの部分集合である、または集合Bが集合Aの部分集合であることを提示する。集合Aが集合Bの部分集合でない、かつ集合Bが集合Aの部分集合でないと仮定して、矛盾を導く。

推移

 推移:もし実数αが実数βよりも小さく、かつ実数βが実数γよりも小さいならば、実数αは実数γよりも小さい。

 実数は集合で表現されるので、集合論の手法で証明する。

境界(境目)

 境界(境目):任意の実数αに対して、集合Aにおける有理数rは実数αよりも小さく、かつ集合A’における有理数rは実数αに等しい、または実数αよりも大きい。

 上記の有理数rを切断(集合Rと集合R’)で表現する。有理数rは集合Rの要素でない。有理数rは集合R’の要素であり、かつ最小である。今、とある実数αも切断(集合Aと集合A’)で表現されている。この時、有理数rは集合Aの要素であるか、または有理数rは集合A’の要素であるかである。

俺らは2通りの場合を考える。もし有理数rは集合Aの要素であるならば、その時、その有理数rは実数αよりも小さいことが言える。もし有理数rが集合A’の要素であるならば、その時、その有理数rは実数αよりも大きい、または実数αに等しいことが言える。この時、上記の定理が証明されたと言える(多分)。

稠密

 稠密:任意の実数αとβに対して、実数αは実数βよりも小さい。この時、実数αよりも大きく、かつ実数βよりも小さい有理数rが無数に存在する。

近似

 近似:自然数mが与えられたとする。任意の実数αに対して、有理数aは実数αよりも小さく、かつ実数αは有理数aと自然数の逆数の和よりも小さい有理数aが存在する。