イプシロン・デルタ論法(ε-δ論法)?〜時刻と位置のストロボ写真〜

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 俺は実数の連続性と関数の連続性が異なると知って驚いた。以下では、俺はイプシロン・デルタ論法?を宗教的に提示するつもりである。もし君が正確な情報を知りたいならば、君は教科書を読むか、大学へと入学することができる。

後で修正する。自分で書いていてわからなくなった。

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イプシロン・デルタ論法(ε-δ論法)

場合

 場合:イザナギが直線道路の上を走り続けている。イザナギの運動はストロボ写真のように撮影されている。

 イザナギが直線道路の上を走り続けている。イザナギの運動はストロボ写真のように撮影されている。俺らが座標(x軸)を直線道路の上に置く時、イザナギの運動は時刻とイザナギの位置の関数で表現される。

俺らが時刻αを取る時、そのαに対応するイザナギの位置f(α)が対応している。俺らはその時刻αを一枚の写真に対応させる。その写真の中には、時刻αにおけるイザナギが写っていると想像する。

言い換えると、俺らがある写真(時刻α)を取る時、その写真(時刻α)に対応するイザナギの位置f(α)が定まっている。なお、俺らは時間を時刻差(β-α)とする。俺らは距離を位置差(f(β)-f(α))とする。

準備

 準備:俺らはある固定されたストロボ写真pを取り、その写真Pに対応するイザナギの位置f(p)を考える。さらに、俺らはイザナギの位置f(p)を囲む非常に短い距離εを取る。

 俺らはある固定されたストロボ写真pを取り、その写真pに対応するイザナギの位置f(p)を考える。さらに、俺らはイザナギの位置f(p)を囲む非常に短い距離εを取る。

非常に短い距離εを左端位置Lと右端位置Rの差 “ε=RーL” と置く。俺らはf(a)=L、f(b)=Rになるようなストロボ写真aとストロボ写真bを “便宜的に” 考える。ストロボ写真aとストロボ写真bが常には存在するとは限らない。

また、俺らはストロボ写真pとその時刻に近いストロボ写真xを取る。俺らは非常に短い間隔のストロボ写真間隔を x-p と置く。ストロボ写真xに対応するイザナギの位置を f(x) と置く。さらに、俺らはx-pよりも大きな非常に短いストロボ写真間隔を(ストロボ)写真間隔δと置く。x-p < δ。

イプシロン・デルタ論法(ε-δ論法)?

 イプシロン・デルタ論法(ε-δ論法)?:イザナギの運動が連続的であるとは、どんなに小さな位置差εに対しても、イザナギが写真間隔δ未満で写った(ちゃんとした)写真間隔δを選択することができることである。

 イザナギの運動が連続的であるとは、どんなに小さな位置差εに対しても、イザナギがδ未満で写った(ちゃんとした)写真間隔δを選択することができることである。(ちゃんとした)写真間隔とは、写真間隔 x-p よりも大きな写真間隔δである。

俺らはあるストロボ写真(時刻p)を取り、その写真に対応するイザナギの位置f(p)を考える。さらに、俺らはイザナギの位置f(p)を囲む非常に短い距離εを取る。たとえ俺らが非常に短い距離を取るとしても、もし俺らがその距離に収めることができるようなストロボ写真を選択することができるならば、イザナギの運動は連続的である。

より口語的には、どんなに小さな距離を取るとしても、もし俺らがイザナギが写っている適切なストロボ写真を用意できるならば、イザナギの運動は連続的であると言える。イザナギの位置f(p)を囲む非常に短い距離εに収めることができるようなストロボ写真を選択できるのかが要点であるように感じた。

イプシロン・デルタ論法(ε-δ論法)2

ストロボ写真(時刻p)で連続でない場合

 俺らはストロボ写真(時刻p)で連続でない場合を考えてみる。例えば、関数のグラフがストロボ写真(時刻p)で絶壁のようになっていると仮定しよう。俺らはイザナギの位置f(p)を囲む非常に短い距離εを取る。

この時、幾何学的には、俺らは非常に短い間隔のストロボ写真(時刻x)を選択することができない。なぜなら、非常に短い距離εよりも小さくなるようなストロボ写真(時刻x)それ自体が存在しない。”ε=RーL” に存在するストロボ写真がストロボ写真(時刻p)以外に存在しない。

任意の位置にストロボ写真が対応してれば連続か?

 俺らが時刻と位置の関数を考える時、俺らは任意の位置にイザナギのストロボ写真が対応していれば、その関数は連続であるように感じる。けれども、この感覚は数学的には正常でない。

例えば、イザナギが瞬間移動して、任意の位置を重複無しに行ったり来たりする場合、任意の位置には唯一のストロボ写真が対応する。けれども、イザナギの運動それ自体は連続でない。直感的には、イザナギの運動が左右に振動しすぎる運動は連続でない。

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