集合に対する俺系統の認識について〜集合の相等と部分集合〜

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 数学における集合とは、大雑把に言えばいくつかの「もの」からなる「集まり」である。集合を構成する個々の「もの」のことを (げん、element要素) という。集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。

https://ja.wikipedia.org/wiki/集合

 以下では、俺は集合に対する俺系統の認識を提示するつもりである。下記の情報は集合それ自体でなう、集合に対する俺系統の認識である。

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集合

  以下では、俺は集合の定義を提示するつもりである。その後、俺は集合の記法を表示する。個人的には、俺は集合を細胞のような対象と感じる。細胞は核と細胞膜からなる。言い換えると、細胞とは、核と細胞膜の和(結合)である。また、細胞膜の内部には、空間(余白)がある。現実的には、細胞液がその空間の中に入っている。

定義、または認識

 俺系統の認識 集合とは、対象達の集まりである。

 上記が集合の一般的な定義である。英語では、A set is a collection of objects. 例えば、点集合Pは点達の集まりである。点達(points)それ自体は集まりそれ自体でない。では、集合とは何であるのだろうか?集まりとは何であるのだろうか?

俺が集合を細胞に例えるとき、その集合は要素たちと集合膜(区切り)からなっているように感じる。実際、俺らは要素としての点々とそれを囲む膜を黒板の上に描いてきた。では、要素や集合膜はどのように決定されるのか?

例えば、俺はある種の対象たちを具体的に用意して、それらを集合の要素とする。この時、境界としての集合膜が生じるように感じる。また、俺がある条件C(x)を集合の要素xに与えるとき、境界としての細胞膜が生じてくるように感じる。

前者では、俺は点1、点2、点3と用意して、これらを集合の要素と決定する。この時、この集合の集合膜が生じてくるように感じる。後者では、俺は未知数のような要素xを用意して、「xは点である」という条件文を与える。この時、この集合の集合膜が生じてくるように感じる。当然、この時、点とは何であるのかは定義される必要がある。

 俺は次を感じた。対象それ自体は対象の集合でも集合膜でもない。たとえ俺が対象たちと唱えるとしても、対象たちそれ自体は呼び出されるが、対象たちの集合はまだ生じていない。なぜなら、その場合、俺は対象たちだけを描けば十分である。たとえ俺がある対象を定義するとしても、その定義それ自体が集合も集合膜も形成していない。

感覚的には、俺が要素を決定すると、集合膜が生じて、集合が形成されるように感じる。逆、俺は境界としての集合膜を定めると、内部としての要素が生じて、集合が形成されるように感じる。

記号

 俺は集合の記号を提示する。俺が記号を考えるとき、俺は集合に関する計算を四則演算のように機械的に実行することができるように、記号を人工的に設定する必要がある。

集合の記号$$A=\{a|a \in A \}$$

{}は区切り(集合膜)を表示する?。左のaは集合の要素を表示する。右の$a \in A$は要素aの条件$C(a)$を定める。上記の記号では、集合は要素とその条件を持つ。一般的には、俺は上記を$A=\{a|C(a)\}$と表示する。俺はこの表示を内包的記法と呼ぶ。内包的記法とは、ある記法であり、そこでは集合の要素とその要素の条件が描かれる。または、変数か未知の要素xを使用すると、

集合の記号$$A=\{x|x \in A \}$$

さらに、条件を使用すると、俺は$A=\{x|C(x), x \in A \}$を獲得する。この記号では、もし俺が条件C(x)を定めるならば、俺は集合を獲得する。感覚的には、俺がC(x)を文と仮定するとき、もし俺がx is Cという文を作るならば、その作成は集合の作成にもなる。

集合の記号$$S=E+M$$ $$S⇄E+M$$

 俺は上記の記号を考えてみた。ただし、機能するのかは不明である。Sが集合であり、Eが要素であり、Mが集合膜である。+は和や(部品)の結合を表現する。=は一致と交換可能を表現する。俺はEを$C(x)$と表示して、俺は$S= C(x)+M$を獲得する。正確には、C(x)はC(x)であるようなxである。この場合、俺は$S= x|C(x)+M$を獲得するかもしれない。俺は|をsuch that と解釈してみた。この場合、 x|C(x) $\in$ S, M $\in$ S。または、M $\in$ Sの $\in$を⊂などで新たに表示する。

具体例

点集合P

 俺は点集合Pを考える。俺はある点をpointalxと表現する。-alは1であり、xは順序に関する任意である。俺は順序を考慮しないので、俺は順序をxとした。この時、点達の集合はSetalx of pointsxである。

ただ、pointsxは一つの対象である。だから、Setalx of pointsxは球面が一塊りのpointsxを囲っているように感じる。そこで、俺はpointsxをpointalals+pointalils+pointaluls+…+pointalnlsに一致させて、$pointsx=pointalals+pointalils+pointaluls+\dots +pointalnls$を獲得する。この時、バラバラの点の集合を感覚的に把握する。alsは一番目の点である。順序を考慮しないとき、alsをxで置き換える。

点集合の記号$$P=\{p|p \in P \}$$

俺は点集合Pの表示をうまく考えることができなかった。個人的には、俺は集合の変数のような要素xと定義と所属を表示する記号の3つが必要であるように感じた。つまり、俺は$P=\{x|C(x)⇄xは点である、x \in P \}$。⇄は交換可能である。俺は一致=を使用するのか迷ったが、一致できても交換不可能であったならば、意味がないと考えて、俺は⇄を使用した。

点集合の記号$$P=E+M$$$$P=x|C(x)+M$$

 C(x)はx is pointalxである。MはC(x)に依存する集合膜である。C(x)はpointalxの定義に依存する。上記の数式が成り立つように、Mを定めれば、x|C(x)はMに依存するかもしれない。俺はMかC(x)のどちらかを定めれば十分である。固有名詞を使用するならば、この集合膜は点集合膜である。

大和民族Y

 今、俺は日本人たちの集合を考える。日本人とは、Y染色体ハプログループD1a2aを持つ(日本列島の上で生活してきた)モンゴロイド人種であると便宜的に定義する。この時、俺は集合「大和民族」を考えることができる。日本人とは、大和民族の要素である。

大和民族Yの記号$$Y=\{x|C(x)⇄xは日本人である、x \in Y \}$$

俺が日本人と大和民族を区別する時、俺は集合の要素と集合の区切り(膜)の違いを感覚的に把握する。大和民族は膜の名前であり、日本人は要素の名前である。つまり、ある日本人 $\in$ 大和民族。

大和民族Yの記号$$Y=E+M$$ $$Y=x|C(x)+M$$

このC(x)は x is Japanesealx. である。固有名詞を使用するならば、この集合膜は大和民族膜である。

集合の状態

 集合の状態には、集合の相等と部分集合がある。以下では、俺は典型的な表現と独自の表現を使用して、これらを提示する。

集合の相等

 集合Aと集合Bがある。集合Aと集合Bが互いに等しいとはどういうことであるのだろうか?正確には、集合Aが集合Bに等しく、集合Bが集合Aに等しいとはどういうことであるのだろうか?直感的には、集合Aと集合Bの要素が互いに等しいことである。

つまり、「集合Aが集合Bに等しく、集合Bが集合Aに等しい」とは「もしある集合の任意の要素がその集合に属するならば、その要素は別の集合に属する、かつもし別の集合の任意の要素が別の集合に属するならば、その要素はその集合に属する」である。一番目のカッコをaと置き、二番目のカッコをbと置くと、a⇄b。⇄は交換可能である。

上記を記号で書くと、俺は次を獲得する。$\Leftrightarrow$は同等記号である。「集合Aが集合Bに等しく、集合Bが集合Aに等しい」とは、任意の対象xについて、

集合の相等の記号$$x \in A\Leftrightarrow x \in B$$

集合の相等の記号$$x \in A\rightarrow x \in B、x \in A\leftarrow x \in B$$

 次に、俺は独自の表示を考える。上記では、俺は$S=x|C(x)+M$を使用した。俺は$A=x|C(x)_1+M_1$と$B=x|C(x)_2+M_2$を使用する。この表示で、二つの集合が等しいとは、$x|C(x)_1+M_1=x|C(x)_2+M_2$である。それぞれのMはC(x)に依存する。だから、任意の対象xについて、

集合の相等の記号$$E_1=E_2$$ $$x|C(x)_1=x|C(x)_2$$

部分集合

 集合Aと集合Bがある。俺は集合Aと集合Bの含有関係を考える。集合Aが集合Bの(集合Bに)部分(部分集合)であるとは、もし要素xが集合Aに所属するならば、その要素xは集合Bに所属することである。任意のxに関して、

部分集合の記号$$x \in A\rightarrow x \in B$$

この時、俺は上記を$A \subset B$と表示する。俺はこの表示$A \subset B$を$x \in A\rightarrow x \in B$に置き換えることができるかもしれない。つまり、$A \subset B \Leftrightarrow x \in A\rightarrow x \in B$ なお、俺は集合の相等$A=B$を$A \subset B、B \subset A$でも表示する。

 同様に、俺は独自の表示で考える。集合Aが集合Bの部分であるとは、M_1がM_2の部分であることである。だから、

部分集合の記号$$M_1 < M_2$$

 この時、俺は上記を$A \subset B$と表示する。<は含有を表現する便宜的な記号である。$M_1 < M_2、M_2 < M_1$の時、$M_1 = M_2$。$M_1 = M_2$の時、$A=B$。ただし、俺がMかC(x)のどちらかを定めると、Sが決定されると仮定する。または、

部分集合の記号$$x|C(x)_1 \in A\rightarrow x|C(x)_2 \in B$$

俺が$x|C(x)_1$と$x|C(x)_2$と直接的に比較したい場合、俺は対応を考えることができるかもしれない。$x|C(x)_1$の数が$x|C(x)_2$の数よりも小さく、かつ$x|C(x)_1$のそれぞれが$x|C(x)_2$のどれかに等しい。

電飛

 集合論(Mathpedia)

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