集合論〜集合とその演算〜 

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 もし君が正確な情報を知りたいならば、君は職業数学者に尋ねよ。ここは宗教的なsiteである。

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集合

認識

 俺の認識 集合とは、対象たちの集まりである。

 俺の印象では、数学では、数の集合や関数の集合が分析される。対象という単語には、深い意味は存在しない。それぞれの対象は集合の要素である。ある集合のある要素とは、対象たちの集まりにおけるある対象である。その要素はその集合に所属する。ここでの英語では、俺は the element of a set のように書く。of は集合から要素を取り出す操作である。

今、俺はある日本人を考える。もしその日本人が集合を認識するならば、その人間は彼自身が東洋文明に所属しているのか、西洋文明に所属しているのかを彼自身の言葉で表現するだろう。もしその日本人が集合に鈍感であるならば、その日本人は彼自身の文明的な所属に無関心であるかもしれない。

日常的には、集合とは建物の壁や球体の表面(球面)やなんらかの境界である。また、集合は内部と外部を明確に区別する。俺の印象では、数学では、集合は数たちの集まりを考えるときに何かと都合が良いように見える。

認識

 俺の認識 集合とは、境界(空間)と対象(もの)の和である。

 上記では、集合の部分が境界(部分)と対象(部分)である。細胞とは、細胞膜と核と細胞液の和である。細胞の部分が細胞膜と核と細胞液である。集合を境界及び対象の和にメタ的に与えられる名札と考えると、この「の」はその名札による所有(’s)である。または、the part of a car という表現を考慮すると、この「の」は of である。個人的には、俺は部分の of ? と要素や色や形の of を区別したい。

集合は境界という部分と対象(もの)という部分を持っている。または、集合は境界と対象(もの)から構成される。対象(もの)は内容物でも良いように感じる。例えば、点の集合(点集合)とは、その対象の要素(部分)が点である集合である。水細胞とは、その細胞液の素材が水である。俺が対象を要素と置き換えて、要素を素材と置き換えるとき、集合とは、境界と要素の和である。この時、点集合とは、その対象の要素(部分)の素材が点である集合である。または、俺は対象をものと置き換えることができるかもしれない。

また、俺が対象を定めると、その対象とそうでない対象が定まる。つまり、俺が対象を定めるとき、境界も同時に定まる。逆に、俺が境界を定めるとき、対象も同時に定める。そして、その対象(もの)は境界の中に所属する。まとめると、境界と対象が存在して、かつその対象は境界に所属する。この時、集合が生じる。

認識

 俺の認識 有限集合とは、その要素の数が有限個である集合である。無限集合とは、その要素の数が無限個である集合である。空集合とは、その要素の数が0である集合である。

 所有の of では、有限集合とは、その対象(もの)の ‘s 要素の数が有限的である集合である。部分の of では、有限集合とは、その対象(もの)の of の要素の数が有限的である集合である。

集合の状態

相等

 俺の認識 ある集合と別の集合が存在する。もしある集合の任意の要素がその集合に属するならば、その要素は別の集合に属する、かつもし別の集合の任意の要素が別の集合に属するならば、その要素はその集合に属する。

 上記の状態が存在するとき、ある集合が別の集合に等しい。または、ある集合と別の集合は互いに等しい(相等である)。正確には、上記の状態が存在するとき、俺はある集合が別の集合に等しいとするかもしれない。

おそらく?、「ある集合と別の集合は互いに等しい(相等である)」⇄「もしある集合の任意の要素がその集合に属するならば、その要素は別の集合に属する、かつもし別の集合の任意の要素が別の集合に属するならば、その要素はその集合に属する」

別の書き方では、もしある集合の対象(もの)の任意の要素がその集合に属するならば、その要素は別の集合に属する、かつもし別の集合の対象(もの)の任意の要素が別の集合に属するならば、その要素はその集合に属する。

部分

 俺の認識 ある集合と別の集合が存在する。ある集合の任意の要素がその集合に属するならば、その要素は別の集合に属する。

 上記の状態が成立するとき、その集合は別の集合の部分集合である。その集合は別の集合に “含まれる”。別の集合はある集合(部分集合)を持つ集合である。部分集合とは、別の集合に含まれる集合である。上記で述べたように、集合の部分集合における「の」は所有格であり、of でない。

おそらく?、「ある集合が別の集合の部分である」⇄「ある集合の任意の要素がその集合に属するならば、その要素は別の集合に属する」

別の書き方では、ある集合の対象の任意の要素がその集合に属するならば、その要素は別の集合に属する。

演算

 俺の認識 ある集合と別の集合が存在する。ある集合と別の集合の和集合とは、その要素がある集合の全ての要素及び別の集合の全ての要素のみである集合である。

共通

 俺の認識 ある集合と別の集合が存在する。ある集合との別の集合の共通(部分)集合とは、その要素がある集合に所属する、かつその要素が別の集合に所属する集合である。

 俺の認識 ある集合と別の集合が存在する。別の集合に対するある集合の補集合とは、その要素がある集合に所属する、かつその要素が別の集合に所属しない集合である。

集合系

集合系

 俺の認識 集合系とは、その要素が集合のみである集合である。

 日常的には、集合系とは、集合の集合である。

 俺の認識 冪集合とは、その要素がある集合の全ての部分集合である集合である。

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