単利と複利と連続複利〜ネイピア数〜

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 以下では、俺は単利と複利に対する俺の認識を提示する。現時点では、俺は単利及び複利を全く理解できていない。さらに、俺は利率と金利と年利、利回りと利子と利息の違いを理解できない。俺はその種の単語を整理して述べるつもりである。

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用語

 以下では、俺は利率と金利と年利、利回りと利子と利息を提示するつもりである。さらに、俺は元金などの単語を提示するつもりである。

元金

 俺系統の認識 元金とは、ある主体が(貸し借りの)初期状態に所有するお金である。

 例えば、ある人間aが100円を所有する。そのあと、その人間aはそのお金を人間bに貸すことを考えた。この時、100円が元金である。または、ある人間aが一枚の金貨を所有する。そのあと、その人間aはその金貨を人間aに貸すことを考えた。この時、その金貨が元金である。

利子(利息)

 俺系統の認識 利子とは、元金と利子率と付利回数の積である。

 利子とは、元・利・付である。または、ガ・リ・フ。利子率とは、元金に対する利子の割合である。略称は利率。金利は利子にほぼ等しい。ある主体がそのお金を受け取る時、そのお金は利息と呼ばれる。ある主体がそのお金を支払う時、そのお金は利子と呼ばれる。

例えば、俺は2年後の利子を求めたい。利率を0.1とする。3ヶ月ごとに、1回の付利が存在すると仮定する。この時、(付利回数/3ヶ月)×(24ヶ月)=8付利回数。この時、100円×0.1×8付利回数=80円。

単位はお金/付利回数×お金/お金×付利回数=お金。または、((お金×お金/お金)÷付利回数)×付利回数。

利回り(1年利回り)

 俺系統の認識 利回りとは、元金に対する利子の割合である。

 または、利回りとは、元金に対する利子合計の割合である。1年利回りとは、元金に対する1年間の利子合計の割合である。

単利(interest)

 単利の考えには、次の2通りがある。一番目には、$a+anp$である。二番目には、$a(1+np)$である。後者の形は複利に少し似ている。

俺の知る範囲では、単利におけるnが何であるのかはきちんと決定されていないように思える。nが付利回数であるのか、nが時間であるのかは不明瞭である。そこで、俺はnを付利回数と定めて、tを時間と定める。

例題

 例題 元金100円が存在する。利子率0.1が存在する。利子率0.1=$\frac{10円}{100円}$。今、6ヶ月ごとに、2回の付利行為が定められたと仮定する。この時、12ヶ月後の単利は何であるのか?

 6ヶ月ごとに、2回の付利行為がある。だから、一ヶ月あたりの回数は$\frac{2回}{6ヶ月}$=約0.3回である。12ヶ月後の回数は$\frac{2回}{6ヶ月}$×12ヶ月=4回である。そこで、俺は利子率pを元金に4回乗じる。

3ヶ月後の1回目の付利では、100円×(10円/100円)=10円。6ヶ月後の2回目の付利では、100円×(10円/100円)=10円。9ヶ月後の3回目の付利では、100円×(10円/100円)=10円。12ヶ月後の4回目の付利では、100円×(10円/100円)=10円。

合計すると、10円+10円+10円+10円=40円である。従って、100円+40円=140円。100円×(10円/100円)+100円×(10円/100円)+100円×(10円/100円)+100円×(10円/100円)。100円で括ると、100×((10円/100円)+(10円/100円)+(10円/100円)+(10円/100円))。(10円/100円)が4回あるので、(10円/100円)×4回を考えると、100円×((10円/100円)×4回)。

ただし、(10円/100円)は(10円/100円)/1回とする。この時、100円をaとして、10円/100円をpとして、4回をnとすると、a(pn)が生じる。これを元金に加えると、a+a(pn)。また、俺は付利行為1回あたりの利子率pを考えた。

単利〜$(a+apn)$型〜

 俺系統の認識 n回の単利$(a+apn)$は$(a+a(\frac{p}{1n})((\frac{n}{t})t)$である。

 上記を使用して、俺は$(a+apn)$を解釈する。aの単位はお金である。pの単位は(お金/お金)/回である。nの単位は回数である。また、俺が回数を考えるとき、俺は一ヶ月あたりの回数を使用した。そこで、俺は回数/一ヶ月を導入する。すると、回数は(回数/一ヶ月)×tヶ月である。

上記をまとめると、この時、俺は単利$(a+apn)$を$(a+a(\frac{p}{1n})((\frac{n}{t})t)$のように表示することができる。これを変形すると、俺は$(a+apn)$を獲得する。上記では、4回の付利回数が発生した。$(\frac{n}{t})$は一ヶ月あたりの付利回数である。今回、一ヶ月あたりの付利回数は約0.3回であった。だから、12ヶ月を乗じると、付利回数は4回であった。

上記の回答は次である。100円+100円×($\frac{10円}{100円}$×$(\frac{2回}{6ヶ月}$×12ヶ月))=100円+40円。単位を合わせるために、俺は一回あたりの利子率を$\frac{p}{1回}$のように考える。pを使用して、書き直すと、100円+100円×($\frac{p}{1回}$×$(\frac{2回}{6ヶ月}$×12ヶ月))=100円+40円。

例題

 例題 元金100円が存在する。利子率0.1が存在する。利子率0.1=$\frac{10円}{100円}$。今、12ヶ月ごとに、1回の付利行為が定められたと仮定する。この時、1ヶ月後の単利(預金)は何であるのか?

 本来であれば、一ヶ月後には、利子は発生しない。しかし、便宜的に、俺は一ヶ月後における利子を計算する。上記の数式を使用すると、1回の単利$(a+apn)$は$(1+1(\frac{0.1}{1n})((\frac{1}{12})1)$である。約1.00833…。この単利を12ヶ月繰り返すと、1.01円である。

単利〜$a(1+pn)$型〜

 次に、俺は$(a+apn)$を$a(1+pn)$に変形する。この時、俺はこの式を元金をどの程度倍加するのかと解釈する。例えば、(1+pn)が1.1である時、元金aは1.1倍される。(1+pn)の単位はお金/お金である。

$a(1+pn)$の形は複利$a(1+p)^n$に似ている。この複利では、nが括弧の中に含まれず、累乗として存在する。俺がnを1として、$^n$も1と仮定すると、俺は$a(1+pn)$を複利$a(1+p \cdot 1)^1$として解釈することができるように感じる。1の単位はnである。この時、俺は複利を単利の繰り返しと解釈することができるように感じる。

例えば、俺がpnをp’と置き換える。この時、$a(1+pn)$の形は$a(1+p’)^1$である。これは利子率p’の複利を1回実行したものであるように思える。単利における付利の実行回数はnであるが、複利における付利の実行回数は1であるように見える。

複利(compound interest)

 複利は単利における回数を1として、元金及び利子に利率を乗じていく。すると、複利が生じる。一般的には、単利は利率を元金に乗じる。一方、複利は利率を元金及び利子に乗じる。

例題

 例題 元金100円が存在する。利子率0.1が存在する。利子率0.1=$\frac{10円}{100円}$。今、6ヶ月ごとに、2回の付利行為が定められたと仮定する。この時、12ヶ月後の複利は何であるのか?

 6ヶ月ごとに、2回の付利行為がある。だから、一ヶ月あたりの回数は$\frac{2回}{6ヶ月}$=約0.3回である。12ヶ月後の回数は$\frac{2回}{6ヶ月}$×12ヶ月=4回である。そこで、俺は利子率pを元金お及び利子に4回乗じる。

3ヶ月後の1回目の付利では、100円+100円×0.1である。6ヶ月後の2回目の付利では、100円+100円×0.1+(100円+100円×0.1)×0.1である。書き直すと、100円+2(100円×0.1)+100円×$(0.1)^2$。

俺は100円+2(100円×0.1)+100円×$(0.1)^2$をαと置く。α⇄100円+2(100円×0.1)+100円×$(0.1)^2$3回目の付利では、α+αpである。4回目の付利では、αとαpの和をβと置くと、β+βpである。

複利〜$a(1+p)^n$型〜

 俺系統の認識 n回の単利$a(1+p)^n$は$a(1+(\frac{p}{1n})(\frac{1}{1})1)^n$である。

 nは$(\frac{n}{t})t$。元金aが存在する。利子率はpである。この時、初期状態では、aである。1回目の付利では、aを$x_1$と置くと、$x_1+x_1p$である。2回目の付利では、$x_1+x_1p$を$x_2$と置くと、$x_2+x_2p$である。3回目の付利では、$x_2+x_2p$を$x_3$と置くと、$x_3+x_3p$である。n回目の付利では、$x_{n-1}+x_{n-1}p$を$x_n$と置くと、$x_n+x_np$である。または、次である。 

 0回目の付利では、$a$
 1回目の付利では、$a+ap=a(1+p)=a(1+p)^1$。
 2回目の付利では、$a(1+p)+a(1+p)p=a(1+p)(1+p)=a(1+p)^2$。
 3回目の付利では、$a(1+p)^2+(a(1+p)^2)p=a(1+p)^2(1+p)=a(1+p)^3$。
 4回目の付利では、$a(1+p)^3+(a(1+p)^3)p=a(1+p)^3(1+p)=a(1+p)^4$。
 n回目の付利では、$a(1+p)^{n-1}+(a(1+p)^{n-1})p=a(1+p)^{n-1}(1+p)=a(1+p)^n$。

連続複利(Continuous Compound Interest)

 俺が連続複利を考える時、俺はなぜpがnで割られるのかという疑問を持つ。

連続複利とネイピア数

 例題 元金100円が存在する。利子率0.1が存在する。利子率0.1=$\frac{10円}{100円}$。今、1年ごとに、12回の付利行為が定められたと仮定する。この時、2年後の複利は何であるのか?

 一般的には、連続複利は$a(1+\frac{p}{n})^n$で表される。俺はなぜ利子率pが回数nで割られるのかを疑問に思った。なぜなら、俺は次の二つを等号で結びたい。俺が単利を一年間で一回実行する。俺が単利を1年間で12回実行する。もし俺が利子率pを回数nで割らないならば、前者の合計は110円になり、後者の合計は240円になる。

俺はたとえ俺が期間を分割するとしても、俺は期日における合計金額を等しくしたい。そのため、俺は利子率pを回数nで割って、期日における合計金額を等しくする。この時、両者の合計金額が互いに等しくなる。つまり、

$a(1+p \cdot 1)^1=a(1+\frac{p}{12}\cdot 12 )^{1}$

×12の部分を1に置き換えると、俺が単利を$\frac{1}{12}$年間で1回実行するになる。その数式は$a(1+\frac{p}{12}\cdot 1)$。この単利を$\frac{12回}{1年}$×2年を繰り返すと、

$a(1+\frac{p}{12回}\cdot 1回)^{24回}$

になる。上記を一般化すると、俺は次を獲得する。

俺系統の認識 $a(1+\frac{p}{n回}\cdot 1回)^{\frac{n回}{1年}}\cdot {年}$

 今、俺は利率を1とする。さらに、俺は1年ごとにn回の付利行為が発生すると仮定する。この時、1年後の複利は

俺系統の認識 $a(1+\frac{1}{n回}\cdot 1回)^{\frac{n回}{1年}}\cdot {1年}$

になる。俺がnを無限へに大きくすると、俺はネイピア数eを獲得する。

俺系統の認識 $a(\lim_{n \to ∞} (1+\frac{1}{n回}\cdot 1回)^{\frac{n回}{1年}}\cdot {1年})=ae$

 さらに、俺が1年をT年へと拡張すると、上記の式は

俺系統の認識 $a(\lim_{n \to ∞} (1+\frac{1}{n回}\cdot 1回)^{\frac{n回}{1年}}\cdot {t年})=ae^t$

電飛

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