無限級数1+8+27+64+…=1/120の視覚的な解釈について?〜立方数の総和とゼータ関数ζ(-3)〜

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これは「ゼータ関数ζ(0)と無限級数1+1+1+1+…=-1/2の視覚的な解釈について?」の継続である。以下では、俺は無限級数1+8+27+64+…=0をグラファーで視覚化して観察するつもりである。なお、1+4+8+16+…=0は1^3+2^3+2^3+4^3+…=1/120である。以下では、俺は1+4+8+16+…=1/120を1^3+2^3+2^3+4^3+…=1/120と表示する。

以下では、俺は1^3+2^3+2^3+4^3+……をMacのsoftware Grapherを使用して、この無限級数を解釈するつもりである。結論から言うと、この数式は2つの値のような数を取る。一番目は無限であり、二番目は0である。俺は無限級数を1^3exp(-1・0・1+√2)cos(1・0)+2^3exp(-2・0・1+√2)cos(2・0)+3^3exp(-3・0・1+√2)cos(3・0)+…と解釈する。

俺はこの無限級数をlimΣk^3exp(-kx(1+√2))cos(kx)と解釈する。limはx→+0であり、Σの下には、k=1がある。Σの上には、無限記号∞がある。なお、俺はこの数式をSugimotoの電子場所(電飛)で発見した。そこで、俺はこの数式を杉本式0と便宜的に呼ぶ。また、自然数の総和をΣkを表現する。Σの下には、k=1がある。Σの上には、無限記号∞がある。

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無限級数1+8+27+64+…=1/120

 以下では、俺はlimΣk^3exp(-kx(1+√2))cos(kx)をグラファーで表現していく。始めに、俺はk=1を視覚化してみよう。画像は「俺作成」である。

 kが1のとき、x=0における杉本式の値は1である。計算は次である。kが1であるとき、杉本式は1^3exp(-1x(1+√2))cos(1x)である。次に、俺は0をxに代入する。その時、俺は1^2exp(-1・0・(1+√2))cos(1・0)を獲得する。exp(0)及びcos(0)は0である。従って、x=0における杉本式の値は1である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和Σkは1^3=1である。次に、俺はk=2を視覚化してみよう。

 kが2のとき、x=0における値は9である。計算は次である。kが2であるとき、杉本式は1^3exp(-1x(1+√2))cos(1x)+2^3exp(-2x(1+√2))cos(2x)である。次に、俺は0をxに代入する。その時、俺は1^3exp(-1・0・(1+√2))cos(1・0)+2^3exp(-2・0・(1+√2))cos(2・0)を獲得する。exp(0)及びcos(0)は0である。従って、x=0における杉本式の値は1^3+2^3=9である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和Σkは1^3+2^3=5である。同様に、俺はk=3やk=4を視覚化していく。次に、俺はk=10を取ってみる。俺は次の図を獲得する。

 kが10のとき、x=0における値は1^3+…+10^3である。計算は次である。kが10であるとき、杉本式は1^3exp(-1x(1+√2))cos(1x)+2^3exp(-2x(1+√2))cos(2x)+…+10^3exp(-10x(1+√2))cos(10x)である。次に、俺は0をxに代入する。その時、俺は1^3exp(-1・0・(1+√2))cos(1・0)+2^3exp(-2・0・(1+√2))cos(2・0)…+10^3exp(-10・0・(1+√2))cos(10・0)を獲得する。exp(0)及びcos(0)は0である。従って、x=0における杉本式の値は1^3+2^3+…+10^3である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和Σkは1^3+2^3+…+10^3である。

ここで、俺は黄色の楕円に着目する。x>0における楕円の内部には、ある値が存在しているように見える。俺の予想として、もし俺がkを大きくするならば、この楕円の部分が1/120に近い値になるだろう。俺は上記の図を拡大して、y=1/120を導入する。

薄い直線がy=1/120である。上記は非常に見づらいが、x>0.5の時、杉本式はある0でないある値を取っているように見える。次に、俺はk=100を取ってみる。

 kが100のとき、x=0における値は1から100までの立方数の和である。俺はその値を観察することはできない。kが100であるとき、杉本式は1^3exp(-1x(1+√2))cos(1x)+2^3exp(-2x(1+√2))cos(2x)+…+100^3exp(-100x(1+√2))cos(100x)である。次に、俺は0をxに代入する。その時、俺は1^3exp(-1・0・(1+√2))cos(1・0)+2^3exp(-2・0・(1+√2))cos(2・0)…+100^3exp(-100・0・(1+√2))cos(100・0)を獲得する。exp(0)及びcos(0)は0である。従って、x=0における杉本式の値は1^3+2^3+…+100^3である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和Σkは1^3+2^3+…+100^3である。

上記をみると、xが0に近い範囲では、杉本式は特定の値を取っているように見える。また、一つの非常に小さな山がある。俺が上記を拡大して、俺は次の図を獲得する。薄い線がy=1/120である。上記は非常に見づらいが、x>0.08の時、杉本式はある0でないある値1/120を取っているように見える。

x>0における直線をとる値は1/120であるように感じる。数学的な厳密性を捨てて、個人的な印象を提示すると、俺がkを無限にするとき、もし俺がxを正から0へと変化させるならば、その時、lim(x→+0)における杉本式の値は1/120にもなるように思える。当然、その時、自然数の総和Σkは無限である。

 kが無限のとき、x=0における値は自然数の総和∞である。俺はその値を観察することはできない。kが無限であるとき、杉本式は1^3exp(-1x(1+√2))cos(1x)+2^3exp(-2x(1+√2))cos(2x)+…である。次に、俺は0をxに代入する。その時、俺は1^3exp(-1・0・(1+√2))cos(1・0)+2^3exp(-2・0・(1+√2))cos(2・0)…を獲得する。exp(0)及びcos(0)は0である。従って、x=0における杉本式の値は1^3+2^3+…=∞である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和Σkは1^3+2^3+…=∞である。

ただし、kが無限のとき、もし俺が0をxに代入せずに、xを正から0へと変化させるならば、杉本式はlim(x→+0)における杉本式の値は1/120にもなるように思える。当然、上記の図によると、1/120を取らない山がある。だから、もしこの山が消失しないならば、たとえ俺がxを正から0へと変化させるとしても、lim(x→+0)における杉本式の値は1/120にもならないように思える。だから、上記を主張するためには、この山の除去や山の解釈が必要である。または、上記を主張するためには、この最もx=0に近い山や波それ自体が1/120になることが必要である。

・解釈?

 直感的には、平方数の総和は無限である。けれども、ある数学者が1^3+2^3+3^3+4^3+…は1/120と言った時、俺は非常に混乱する。しかし、上記の不確かな図を使用する時、俺は1^3+2^3+3^3+4^3+…が1/120であるのはそれほどおかしくないように思える。

1^3+2^3+3^3+4^3+…が1^3+2^3+3^3+4^3+…のとき、1^3+2^3+3^3+4^3+…は無限∞である。しかし、1^3+2^3+3^3+4^3+…がlim(1^3exp(-1x(1+√2))cos(1x)+2^3exp(-2x(1+√2)cos(2x)+3^3exp(-3x(1+√2))cos(3x)+4^3exp(-4x(1+√2)cos(4x)+…)のとき、1^3+2^3+3^3+4^3+…は1/120である。limはx→+0であり、Σの下には、k=1がある。Σの上には、無限記号∞がある。

上記の無限級数では、級数におけるそれぞれの数をk^3exp(-kx(1+√2))cos(kx)のx=0における値と解釈することができる。その時、極限を考えると、その級数は1/120になるかもしれない。一方、級数におけるそれぞれの数を自然数を解釈する時、その級数は無限へと発散する。上記の図では、上記の無限級数は発散する、かつ1/120になるかもしれない。個人的な印象では、上記の級数は収束しているのでなく、直感通りに発散しているように見える。

一般的に、関数はある変数に対して一つの値を取っているように見える。しかし、上記では、x=における値は∞とx>0からx=0への極限値1/120である。つまり、杉本式はx=0において二つの値を取っているように見える。

1^n+2^n+3^n+4^n+…への一般化〜奇数編〜

 以下では、俺はこれらを一般化して、4以上の奇数の1^n+2^n+3^n+…(または、s≦-4の1/1^s+1/2^s+1/3^s+…)について述べるつもりである。俺は下記の公式を使用する。同様に、俺は上記の公式を杉本式を呼ぶ。

・n=5

 次に、俺はn=5を視覚化する。俺はkをk=100とする。limΣk^5exp(-kxcot(π/12))cos(kx)である。limはx→+0である。Σの下には、k=1がある。Σの上には、∞がある。

上記を見ると、limΣk^5exp(-kxcot(π/12))cos(kx)は0にx>0からx=0に近い負の値へと収束するように見える。俺は上記の図を拡大してみる。

俺の印象では、limΣk^5exp(-kxcot(π/12))cos(kx)は0にx>0からx=0に近い負の値へと収束するように見える。

・n=7

 次に、俺はn=7を視覚化する。俺はkをk=100とする。limΣk^7exp(-kxcot(π/16))cos(kx)である。limはx→+0である。Σの下には、k=1がある。Σの上には、∞がある。

上記を見ると、limΣk^7exp(-kxcot(π/16))cos(kx)は0にx>0からx=0に近い値へと収束するように見える。俺は上記の図を拡大してみる。

俺の印象では、limΣk^7exp(-kxcot(π/16))cos(kx)は0にx>0からx=0、または0に近い正の値へと収束するように見える。

電飛

 以下では、俺は上記の参考にした電飛を提示する。なお、俺は数式の間違いやグラファーへの打ち間違い、俺の単なる勘違いや間違いの可能性を排除しない。当然のことながら、閲覧者は上記の文章を疑うことができる。繰り返すが、俺は数学について素人である。だから、俺は上記の情報を正しいと断言しない。ここは宗教的な場所であるので、閲覧者は怪しい情報を暇つぶしに楽しんで。

外部電飛

内部電飛

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俺らについて