イプシロン・デルタ論法に対する俺系統の認識

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 俺は時刻と位置の関数をx=f(t)を置く。俺はこの関数を使用して、イプシロン・デルタ論法?を提示するつもりである。イプシロン・デルタ論法は関数の連続性に関係するらしい。俺は関数の連続性と実数の連続性を混同していた。盛大に間違ってる可能性が高いので、十分に注意して。特に距離や時間がよくわからない。

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イプシロン・デルタ論法

 俺系統の認識 任意の微小距離dに対して、もし定時刻aと変時刻tの差の絶対値が微小時間Tよりも小さいならば、定時刻aにおける位置f(a)と変時刻tにおける位置f(t)の差の絶対値が微小距離dよりも小さくなるような微小時間Tが存在する。

 書き直すと、任意の微小距離dに対して、|a-t|<T→|f(a)-f(t)|<dとなる微小時間Tが存在する。例えば、ある物体が存在して、その物体が直線的に運動する。このとき、俺はその物体の運動が連続的であるのかを知りたい。俺はその運動をx=f(t)で表示する。このとき、俺はイプシロン・デルタ論法をその運動に適用して、その運動の連続性を調べる。

俺は物体の運動をストロボ写真の本と想像する。俺はある定時刻aをとる。俺はこの時刻に対応する物体の位置f(a)を考える。俺は時刻aでその物体が写ったストロボ写真を想像する。時刻aは本のページに対応する。俺はこの時刻における連続性を調べたい。もし物体が瞬間移動して、f(a)に移動して、さらに瞬間移動したならば、物体の位置f(a)に近い前後のストロボ写真α(ページα)が存在しない。言い換えると、物体の位置f(a)に近い(物体の)前後の位置xが存在しない。

今、俺はf(a)に近いx1とx2を取る。俺は微小距離dを|x1-x2|とする。このとき、俺は|a-t|<T→|f(a)-f(t)|<dとなる微小時間Tを取ることができない。なぜなら、x1とx2に対応する定時刻aの周りの時刻を取ることができない。また、たとえ俺が定時刻aの周りの時刻を取るとしても、|f(a)-f(t)|が微小距離dを凌駕する。なぜなら、f(t)はx2よりも大きい。

memo:俺が微小距離に関する不等式を満足させるために、ページをめくる必要があるならば、その運動は連続でないように思える。また、たとえ物体がある位置に対応するページ(時刻)を持たないとしても、ページを持たないことが定時刻aで連続的でないことはではない。定時刻aに対応する位置f(a)以上の位置がごそっと抜け落ちていて、それに対応するページもごそっとない場合、その運動は連続的でない。

イプシロン・デルタ論法と運動

 今、俺は停止する物体の運動を考える。俺は定時刻aにおける物体の運動の連続性を考える。俺は定時刻aに対応する位置f(a)を考える。俺はこの位置の周りの微小距離dを考える。もし俺が微小時刻T(d)を微小距離dに収まるように取ることができるならば、その運動は連続的である。俺は10=f(t)を考える。物体の位置は任意の時刻で10にある。俺は定時刻1を取る。任意の微小距離dに対して、|f(t)-f(1)|=|10-10|=0<dになるような微小時間Tが存在する。

次に、俺は一瞬ですごく早く移動する物体の連続性を考える。このとき、物体は時刻ごとに瞬間移動しているように感じる。この場合、物体は非連続的に移動しているのだろうか?例えば、俺はx=f(t)=t^2のような関数を考える。俺は定時刻1を取る。定時刻1における物体の位置は1である。俺はtを√(d/2+1)とするとすると、定時刻1における任意の微小距離dに対して、|f(t)-f(1)|=|d/2|<dである。微小時間Tはt2-t1=t1<1<t<t2。t2を√(d/2+1)と解釈すると、tが√(d/2+1)は幅を狭めて評価しているので、より強い条件での不等式であるかもしれない。もしこの不等式がtが√(d/2+1)で成立するならば、t2でも当然成立する。

最後に、俺はx=tというような関数f(t)を考える。俺は定時刻1を取る。定時刻1における物体の位置は1である。俺はtをd/2+1とすると、定時刻1における任意の微小距離dに対して、|f(t)-f(1)|=|d/2|<dである。

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