一様連続に対する俺系統の認識

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 俺は連続性と一様連続の違いを理解できない。盛大に間違ってる可能性が高いので、十分に注意して。

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一様連続

 俺系統の認識 任意の微小距離dに対して、もし変時刻tと変時刻t’の差の絶対値が微小時間Tよりも小さいならば、変時刻aにおける位置f(a)と変時刻t’における位置f(t’)の差の絶対値が微小距離dよりも小さくなるような微小時間Tが存在する。

書き直すと、任意の微小距離dに対して、|t’-t|<T→|f(t’)-f(t)|<dとなる微小時間Tが存在する。例えば、俺は停止する物体の運動を考える。俺は10=f(t)を考える。物体の位置は任意の時刻で10にある。任意の微小距離dに対して、|f(t’)-f(t)|=|10-10|=0<dになるような微小時間Tが存在する。同様に、俺はx=tを考える。俺は俺はt’を(d/2+t)をとする。tはtである。任意の微小距離dに対して、|f(t’)-f(t)|=|t’-t|=|d/2|<dになるような微小時間Tが存在する。

俺はx=t^2である関数f(t)を考える。言い換えると、俺は自由落下運動のような運動の連続性を考える。感覚的には、この運動は時刻経過に沿ってググッと伸びるように運動する。|f(t’)-f(t)|=|t’^2-t^2|<d。|t’^2-t^2|をdと比較するためには、変時刻t, t’を微小距離dで表示する必要がある。俺は定時刻aを変時刻t’に変えると、t’は√(d/2+(t))である。tは√(d/2+(t))-tである。このとき、|f(t’)-f(t)|=|-2t√(d/2+(t))-t^2|である。俺が変時刻tを大きくすると、|-2t√(d/2+(t))-t^2|は|-2t√(d/2+(t))-t^2|<dにならないように見える。

 俺は一様連続を感覚的に把握することができない。俺は微小距離dを固定した後に、俺は不等式を満足するある微小時間をとる。しかし、もし俺がその距離dを使用して、異なる時刻において、その微小時間を使用すると、ある種の時刻差は不等式を満足しなくなる。だから、一様連続でないのかもしれない。
 ストロボ写真の本の例では、俺はある微小距離dをとる。物体のそれぞれの位置に対応する物体の時刻が存在する。もし俺が微小時間を固定して、不等式を満足する時刻差を取るならば、二つの時刻差に対応する物体の位置差は微小距離よりも小さい。
 しかし、それがその微小距離をより大きな時刻で考えるとき、俺はその微小時間を使用して、不等式を満足する時刻差を取ることができない。なぜなら、俺が微小時間にほぼ等しい時刻差を取るとき、より大きな時刻では、微小時間におけるより大きな位置を凌駕してしまう。なぜなら、物体が加速されている。俺が加速された物体を同じページ差で考えるとき、俺はページをめくる必要がある。俺がページをめくると、不等式が満足されない。

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