無限級数1+1+1+1+…=-1/2の視覚的な解釈について?〜1の無限和とゼータ関数ζ(0)〜

言語
https://unsplash.com/photos/wofDw8uqX6I
広告

 これは「ゼータ関数ζ(1)と無限級数1+2+3+4+…=-1/12の視覚的な解釈について?」の継続である。以下では、俺は無限級数1+1+1+1+…=-1/2をグラファーで視覚化して観察するつもりである。

以下では、俺は1+1+1+1+…をMacのsoftware Grapherを使用して、この無限級数を解釈するつもりである。結論から言うと、この数式は2つの値のような数を取る。一番目は無限であり、二番目は1/2である。俺は無限級数を1exp(-1・0^3)cos(1・0^3)+2exp(-2・0^3)cos(2・0^3)+3exp(-3・0)cos(3・0^3)+…と解釈する。

俺はこの無限級数をlimΣ1exp(-kx^3)cos(kx)と解釈する。limはx→+0であり、Σの下には、k=1がある。Σの上には、無限記号∞がある。なお、俺はこの数式をSugimotoの電子場所(電飛)で発見した。そこで、俺はこの数式を杉本式0と便宜的に呼ぶ。また、自然数の総和をΣkを表現する。Σの下には、k=1がある。Σの上には、無限記号∞がある。

広告

1+1+1+1+…=1/2

 以下では、俺はlimΣ1exp(-kx^3)cos(kx)をグラファーで表現していく。始めに、俺はk=1を視覚化してみよう。画像は「俺作成」である。なお、俺はグラファーによる数式の打ち間違いや機械の故障の可能性がないと断定しない。

 kが1のとき、x=0における杉本式の値は1である。計算は次である。kが1であるとき、杉本式は1exp(-1x^3)cos(1x)である。次に、俺は0をxに代入する。その時、俺は1exp(-1・0^3)cos(1・0)を獲得する。exp(0)及びcos(0)は0である。従って、x=0における杉本式の値は1である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和Σkは1=1である。次に、俺はk=2を視覚化してみよう。

 kが2のとき、x=0における値は3である。計算は次である。kが2であるとき、杉本式は1exp(-1x^3)cos(1x)+1exp(-2x^3)cos(2x)である。次に、俺は0をxに代入する。その時、俺は1exp(-1・0^3)cos(1・0)+1exp(-2・0^3)cos(2・0)を獲得する。exp(0)及びcos(0)は0である。従って、x=0における杉本式の値は1+1=2である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和Σkは1+1=2である。同様に、俺はk=3やk=4を視覚化していく。次に、俺はk=10を取ってみる。俺は次の図を獲得する。

 kが10のとき、x=0における値は10である。計算は次である。kが10であるとき、杉本式は1exp(-1x^3)cos(1x)+1exp(-2x^3)cos(2x)+…+1exp(-10x^3)cos(10x)である。次に、俺は0をxに代入する。その時、俺は1exp(-1・0^3)cos(1・0)+1exp(-2・0^3)cos(2・0)…+1exp(-10・0^3)cos(10・0)を獲得する。exp(0)及びcos(0)は0である。従って、x=0における杉本式の値は1+1+…+1=10である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和Σkは1+1+…+1=10である。

ここで、俺は黄色の楕円に着目する。x>0における楕円の内部には、ある値が存在しているように見える。俺の予想として、もし俺がkを大きくするならば、この楕円の部分が1/2に近い値になるだろう。次に、俺はk=100を取ってみる。

 上記の図を見ると、1>xにおける盛り上がりと谷が何らかの値に収束する可能性があるように見える。けれども、ζ(-1)の時と異なり、収束の速度は遅いように見える。または、収束しない可能性があるように見える。俺はk=500を取ってみる。

 薄い直線がy=-1/2である。黄色の楕円で囲まれた部分が-1/2に収束するかもしれないように見える。けれども、ζ(-1)の時と異なり、収束の速度は遅いように見える。または、収束しない可能性があるように見える。

ζ(-1)の時と異なり、収束の速度は遅いように見える。または、収束しない可能性があるように見える。ただし、何らかの値に近づいているようには見える。

解釈?

 上記の一連の図からは何も言えないように見える。しかし、何らかの値をとる可能性がある。その場合、1+1+1+…はζ(-1)やζ(-2)のように解釈される。個人的な印象では、ゼータ関数ζ(s)はsが負とsが正の時とはでは異なる種類の数学的な対象であるように見える。s=0の時は不明である。ζ(0)の振る舞いはsが負とsが正の時とも少し異なる可能性がある。

1+1+1+…をζ(-1)やζ(-2)のように解釈すると、次になる。kが無限のとき、x=0における値は1の総和∞である。俺はその値を観察することはできない。kが無限であるとき、杉本式は1exp(-1x^3)cos(1x)+1exp(-2x^3)cos(2x)+…である。次に、俺は0をxに代入する。その時、俺は1exp(-1・0^3)cos(1・0)+1exp(-2・0^3)cos(2・0)…を獲得する。exp(0)及びcos(0)は0である。従って、x=0における杉本式の値は1+1+…=∞である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和Σkは1+1+…=∞である。

ただし、kが無限のとき、もし俺が0をxに代入せずに、xを正から0へと変化させるならば、杉本式はlim(x→+0)における杉本式の値は-1/2にもなるように思える。当然、上記の図によると、-1/2を取らない山がある。だから、もしこの山が消失しないならば、たとえ俺がxを正から0へと変化させるとしても、lim(x→+0)における杉本式の値は-1/2にもならないように思える。だから、上記を主張するためには、この山の除去や山の解釈が必要である。山自体が-1/2になる可能性もある。

 直感的には、自然数の総和は無限である。けれども、ある数学者が1+1+1+1+…は-1/2と言った時、俺は非常に混乱する。しかし、上記の不確かな図を使用する時、俺は1+1+1+1+…が-1/2であるのはそれほどおかしくないように思える。

1+1+1+1+…が1+1+1+1+…のとき、1+1+1+1+…は無限∞である。しかし、1+1+1+1+…がlim(1exp(-1x^3)cos(1x)+1exp(-2x^3)cos(2x)+1exp(-3x^3)cos(3x)+1exp(-4x^3)cos(4x)+…)のとき、1+1+1+1+…は-1/2である。limはx→+0であり、Σの下には、k=1がある。Σの上には、無限記号∞がある。

上記の無限級数では、級数におけるそれぞれの数を1exp(-kx^3)cos(kx)のx=0における値と解釈することができる。その時、その級数は-1/2になるかもしれない。一方、級数におけるそれぞれの数を自然数を解釈する時、その級数は無限へと発散する。上記の図では、上記の無限級数は発散する、かつ-1/2になるかもしれない。個人的な印象では、上記の級数は収束しているのでなく、直感通りに発散しているように見える。

一般的に、関数はある変数に対して一つの値を取っているように見える。しかし、上記では、x=における値は∞とx>0からx=0への極限値-1/2である。つまり、杉本式はx=0において二つの値を取っているように見える。

電飛

 以下では、俺は上記の参考にした電飛を提示する。なお、俺は数式の間違いやグラファーへの打ち間違い、俺の単なる勘違いや間違いの可能性を排除しない。当然のことながら、閲覧者は上記の文章を疑うことができる。繰り返すが、俺は数学について素人である。だから、俺は上記の情報を正しいと断言しない。ここは宗教的な場所であるので、閲覧者は怪しい情報を暇つぶしに楽しんで。

外部電飛

内部電飛

布施

言語
広告
俺らについて