角と角度について～2次元の角と1次元の角と3次元の角と0次元の角、そしてn次元の角～

　この文章では、俺は角と角度を定義する。始めに、俺は2次元の角と角度を定義する。その後、俺はその他の次元の角と角度を定義していく。

１章　2次元の角

　この章では、俺は2次元の角を定義する。始めに、俺は2次元の角を定義するための準備を提示する。その後、俺は２次元の角を定義する。さらに、俺は2次元の角度を定義する。

１節　準備

　角を定義するためには、俺は角を認識する必要がある。そこで、俺は身近な角の現実例を考える。角の現実例には、時計の時針と秒針がなす図形がある。より身近な例では、人差し指と中指のピースや股のひらき、そして腕と胴体のひらきがある。

　俺はピースをして、様々な角を人差し指と中指で作ることができる。俺は両足を広げて、様々な角を作ることができる。俺は腕を上げたり、地面に平行して、様々な角を腕と胴体で作ることができる。

　俺がこれらの角を観察するとき、俺は次のことを認識する。これらの角には、付け根の部分と2本のまっすぐな線が存在する。時計では、時計の中心の部分が付け根であり、時針と秒針が2本のまっすぐな線である。人差し指と中指では、関節が付け根であり、人差し指と中指が2本のまっすぐな線である。股では、股が付け根であり、2本の足が2本のまっすぐな線である。腕と胴体では、脇が付け根であり、腕と胴体が2本のまっすぐな線である。

　つまり、角を定義するためには、付け根の部分と2本のまっすぐな線が必要である。言い換えると、もし俺が角を定義するならば、付け根と2本のまっすぐな線が存在する。上記の認識を使用して、俺は角を定義する。

２節　角の定義

　上の節では、俺は角を認識した。その認識に基づいて、俺は角を定義する。

　俺は上記の点を角の頂点と呼ぶ。俺はある線分を基準辺と便宜的に呼ぶ。俺はもう一方の線分を辺と便宜的に呼ぶ。なお、俺は半直線でなく、線分を使用した。なぜなら、俺は無限の存在を仮定しない。半直線には、無限の存在が仮定されている。

　上記を見ると、2次元の角を定義するためには、3つの点が必要である。この3は1を次元の数に加えた数である。別の見方では、2次元の角を定義するためには、頂点と2つの1次元の対象が必要である。2つの1次元の対象の2は次元の数に等しい。1次元の対象は1を次元の数から引いた数である。

　次に、俺は上記の角を単位線分で定義する。

　単位線分は線分である、その線分の長さは1である。俺はこの定義を角度を定義するために使用する。

３節　角度の定義

　俺は角度を定義した。この定義に基づいて、俺は角度を定義する。まず、俺は角度と言う単語を定義する。

　言い換えると、角度は角の開き具合である。俺は角の大きさを数で表現することができるのかを確認する。もし俺が角の大きさを数で表現することができるならば、角は（１）大小を持つ、（２）単位1を持つ、（３）0を持つ。

　ここでは、俺は度数法を考える。

　始めに、俺は大小を考える。時針を0時に置く。分針を9時に置く。このとき、時針と分針は垂直である。次に、時針を0時に置く。分針を6時に置く。このとき、時針と分針は平行である。平行な角は垂直な角よりも大きい。同様に、俺は時針と秒針の暗き具合を自由に変えることができる。従って、角は大小を持つ。

　次に、俺は角の単位を考える。例えば、一回りで6分、つまり、360秒を刻む秒針を考える。このとき、1度は0時0秒から0時1秒までの秒針の右回りの開き具合である。または、1度は0時0秒から0時359秒までの秒針の左回り開き具合である。

　最後に、俺は角度0を考える。時計では、角度0は時針と秒針がぴったりと重なっている状態である。以上で、俺は角の大きさの（１）から（３）までの条件を提示した。従って、俺は角度を数で表現することができた。

４節　角度の表現1

　前の節では、俺は角度を度数法で表現した。ここでは、俺は異なる表現を考える。俺は角度を2本の単位線分が掃く面積で定義する。

　俺はこの方法を面度法（めんどほう）と呼ぶ。上記と同様に、俺は0と単位を考える。角度が0であるとは、面積が0であることである。角度が1であるとは、面積が1であることである。1を単位とするのが面倒な場合、俺はπを単位とする。

　面積の符号は次である。辺の反時計回りが正の面積である。辺の時計回りが負の面積である。正と負の符号は面積の状態である。このとき、俺は正と負の符号を面積に定義することができる。

　なお、俺は弧度法を使用しない。なぜなら、もし俺が2次元の角度を弧で定義するならば、後述するように、俺は1次元の角を定義することができない。2次元の角度を弧で定義すると、俺は1次元の角度を点で定義する必要がある。しかし、俺は1次元の角度を点で定義できない。

５節　角度の表現2

　面積による定義では、円周率と言う無限の存在が仮定された。また、面積を一回一回求めることは日常的でない、かつ現実的でない。そこで、俺は度数法を改善して、俺は角度を次のように定義する。

　俺は0を次のように定義する。角度が0であるとは、ある状態である、そこで辺が基準辺に重なっている。角度が1であるとは、ある状態である、辺が基準辺から反時計周りに1回転した。俺は角度の単位を1回転の状態とする。

　単位は度である。この定義では、4分の1度は垂直な状態である。2分の1度は平行な状態である。もし俺がこの方法を度数法と呼ばないならば、俺はこの方法を回転法と呼ぶ。つまり、俺は1回転を1度とする。

２章　1次元の角

　この章では、俺は1次元の角を定義する。俺は2次元の角を頂点を固定して、基準辺を回転させて、形成した。同様に考えると、俺は頂点を固定して、点を移動させて、1次元の角を形成する。2次元の角では、辺が基準辺から出て、角と扇形面を作った。これを真似ると、1次元の角では、点が基準点から出て、角と線分を作る。

　直線方向に回転させるとは、頂点を直線方向に移動させることである。ただし、元の頂点はそのままである。言い換えると、1次元の角は頂点とその頂点から伸びる線分によって形成される。俺は頂点でない点を点と呼ぶ。または、俺はその点を辺点（へんてん）と呼ぶ。場合により、俺は頂点を基準点と呼ぶ。

　2次元の角と同様に、俺は1次元の角度を定義する。

　上記は2次元の角と同じである。ただし、1次元の角度の場合、俺がその角度をどのように定義することができるのかは難しい。ここでは、俺は1次元の角の大きさを2点の間の距離で表現する。

　または、1次元の角度は1本の線分の長さで表現される。角度が0であるとは、頂点と点が重なっている状態である。角度が1であるとは、頂点と点の距離が1である状態である。２次元の角度と同様に、俺は繰り返しを定義する。点と頂点の距離が1であるとき、点は頂点に戻る。点と頂点の距離が1であるとき それは1回転を表現する。

　なお、正と負の符号が存在する。負の符号は正の方向と反対の方向である。

3章　3次元の角

　俺は3次元の角を定義する。2次元では、俺は頂点を固定して、線分を回転させて、角を形成した。同様に、俺は頂点を固定して、扇形を回転させて、角を形成する。

　

　俺は扇方の角度を第一角度と呼ぶ。俺は垂直方向の角度を第二角度と呼ぶ。このとき、球の上の部分を平行に切り落とした後、さらに、円錐を上半球から取り除いた図形が生じる。これが3次元の角である。頂点を除くと、点の数は基本的には4である。ただし、第一角度と第二角度が90度であるとき、点の数は2である。

　2次元の角と同様に、俺は3次元の角度を定義する。

　上記は2次元の角と同じである。２次元の角では、角は線が掃く面積で定義された。同様に、俺は3次元の角を面が掃く体積で定義する。

　3次元の角度が0であるとは、その体積が0であることである。3次元の角度が1であるとは、その体積が1であることである。面倒な場合、俺は単位を(4/3)πとする。

　正と負の符号は次である。扇形の面積は正と負を持つ。面積を正とする。回転の方向が上であるとき、その体積は正である。回転の方向が下であるとき、その体積は負である。面積を負とする。回転の方向が上であるとき、その体積は負である。回転の方向が下であるとき、その体積は正である。

関連

・角（ウィキペディア）
・立体角（ウィキペディア）

・立体角（よびのり）