自然数の総和(無限和)1+2+3+4+…が-1/12になる事の視覚化とその解釈について〜ゼータ関数ζ(-1)と1+2+3+…=-1/12〜

広告

 日常的には、$1+2+3+…$は無限であるように感じる。けれども、ある種の人々が複素数や解析接続を使用するとき、$1+2+3+4+…$は$-\frac{1}{12}$になるらしい。以下では、俺は$1+2+3+4+…$をMacのsoftware Grapherを使用して、この無限級数を視覚的に解釈するつもりである。この時、俺は$1+2+3+4+…=-\frac{1}{12}$を複素数や解析接続を使用せずに視覚的に把握することができた。

この数式は2つの値のような数を取る可能性がある。一番目は無限$∞$であり、二番目は$-\frac{1}{12}$である。俺は無限級数を$1exp(-1 \cdot 0)cos(1 \cdot 0)+2exp(-2 \cdot 0)cos(2 \cdot 0)+3exp(-3 \cdot 0)cos(3 \cdot 0)+…$と解釈する。さらに、俺はこの無限級数を$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}kexp(-kx)cos(kx)=-\frac{1}{12}$と解釈する。なお、俺はこの数式を杉山の電子場所(電飛)で発見した。そこで、俺はこの数式を杉山式と便宜的に呼ぶ。

広告

無限級数${1+2+3+4+…=-\frac{1}{12}}$

 上記では、$x=0$の上で、自然数の無限和が発散している。一方、kを大きくすると、-1/12がx>0かrx=0へと近づいていく様子が観察される。

視覚的な現象

 俺の視覚的な予想 $$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}kexp(-kx)cos(kx)=-\frac{1}{12}$$ $$\sum_{k=1}^{∞}kexp(-k \cdot 0)cos(k \cdot 0)=∞$$

 以下では、俺は$\sum_{k=1}^{∞}Σkexp(-k \cdot 0)cos(k \cdot 0)=∞$をグラファーで表現していく。始めに、俺は$k=1$を視覚化してみよう。画像は「俺作成」である。なお、俺はグラファーによる数式の打ち間違いや機械の故障の可能性がないと断定しない。

 $k$が$1$のとき、$x=0$における杉山式の値は$1$である。計算は次である。$k$が$1$であるとき、杉山式は$1exp(-1x)cos(1x)$である。次に、俺は$0$を$x$に代入する。その時、俺は$1exp(-1 \cdot 0)cos(1 \cdot 0)$を獲得する。$exp(0)$及び$cos(0)$は$1$である。従って、$x=0$における杉山式の値は$1$である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和$\sum_{k=1}^{1}$は$1=1$である。次に、俺は$k=2$を視覚化してみよう。

 $k$が$2$のとき、$x=0$における値は$3$である。計算は次である。$k$が$2$であるとき、杉山式は$1exp(-1x)cos(1x)+2exp(-2x)cos(2x)$である。次に、俺は$0$を$x$に代入する。その時、俺は$1exp(-1 \cdot 0)cos(1 \cdot 0)+2exp(-2 \cdot 0)cos(2 \cdot 0)$を獲得する。$exp(0)$及び$cos(0)$は$0$である。従って、$x=0$における杉山式の値は$1+2=3$である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和$\sum_{k=1}^{2}$は$1+2=3$である。同様に、俺は$k=3$や$k=4$を視覚化していく。次に、俺は$k=10$を取ってみる。俺は次の図を獲得する。

 $k$が$10$のとき、$x=0$における値は$55$である。計算は次である。$k$が$10$であるとき、杉山式は$1exp(-1x)cos(1x)+2exp(-2x)cos(2x)+…+10exp(-10x)cos(10x)$である。次に、俺は$0$を$x$に代入する。その時、俺は$1exp(-1\cdot 0)cos(1\cdot 0)+2exp(-2\cdot 0)cos(2\cdot 0)…+10exp(-10\cdot 0)cos(10\cdot 0)$を獲得する。$exp(0)$及び$cos(0)$は$0$である。従って、$x=0$における杉山式の値は$1+2+…+10=55$である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和$\sum_{k=1}^{10}$は$1+2+…+10=55$である。

ここで、俺は黄色の楕円に着目する。$x>0$における楕円の内部には、ある値が存在しているように見える。俺の予想として、もし俺が$k$を大きくするならば、この楕円の部分が$-\frac{1}{12}$に近い値になるだろう。次に、俺は$k=100$を取ってみる。

 $k$が$100$のとき、$x=0$における値は$1$から$100$までの自然数の和($5050$?)である。俺はその値を観察することはできない。$k$が$100$であるとき、杉本式は$1exp(-1x)cos(1x)+2exp(-2x)cos(2x)+…+100exp(-100x)cos(100x)$である。

次に、俺は$0$を$x$に代入する。その時、俺は$1exp(-1・0)cos(1・0)+2exp(-2・0)cos(2・0)…+100exp(-100・0)cos(100・0)$を獲得する。$exp(0)$及び$cos(0)$は$0$である。従って、$x=0$における杉山式の値は$1+2+…+100=5050$である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和$\sum_{k=1}^{100}$は$1+2+…+100=5050$である。

上記をみると、$x$が$0$に近い範囲では、杉本式は特定の値を取っているように見える。また、一つの山がある。俺が上記を拡大して、俺は次の図を獲得する。

 $x>0$における直線をとる値は$-\frac{1}{12}$であるように感じる。そこで、俺は$y=-\frac{1}{12}$を導入すると、俺は次を獲得する。

上記の直線は$y=-\frac{1}{12}$である。$x>0$における直線をとる値は約$y=-\frac{1}{12}$である。数学的な厳密性を捨てて、個人的な印象を提示すると、俺が$k$を無限にするとき、もし俺が$x$を正から$0$へと変化させるならば、その時、$\lim_{+x \to +0}$における杉山式の値は$y=-\frac{1}{12}$にもなるように思える。当然、その時、自然数の総和$\sum_{k=1}^{∞}$は無限である。$k=500$も同様である。

$k$が無限のとき、$x=0$における値は自然数の総和$∞$である。俺はその値を観察することはできない。$k$が無限であるとき、杉山式は$1exp(-1x)cos(1x)+2exp(-2x)cos(2x)+…$である。次に、俺は$0$を$x$に代入する。その時、俺は$1exp(-1・0)cos(1・0)+2exp(-2・0)cos(2・0)…$を獲得する。$exp(0)$及び$cos(0)$は$0$である。従って、$x=0$における杉山式の値は$1+2+…=∞$である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和$\sum_{k=1}^{∞}$は$1+2+…=∞$である。

ただし、$k$が無限のとき、もし俺が$0$を$x$に代入せずに、$x$を正から$0$へと変化させるならば、杉山式は$\lim_{+x \to +0}$における杉本式の値は$-\frac{1}{12}$にもなるように思える。当然、上記の図によると、$-\frac{1}{12}$を取らない山がある。だから、もしこの山が消失しないならば、たとえ俺が$x$を正から$0$へと変化させるとしても、$\lim_{+x \to +0}$における杉本式の値は$-\frac{1}{12}$にもならないように思える。だから、上記を主張するためには、この山の除去や山の解釈が必要である。

解釈

 俺の視覚的な解釈 $\sum_{k=1}^{∞}kexp(-kx)cos(kx)$の$x$が$0$である時、$1+2+3+4+…$が$∞$になる。視覚的には、杉山式のグラフにおいて、$x=0$における$y$軸の値が無限$∞$へと発散する。

 直感的には、自然数の総和は無限である。つまり、$1+2+3+4+…$は無限$∞$である。この視覚的な解釈はx=0におけるyの値が$1, 1+2, 1+2+3+, …$のようにx=0で大きくなることである。

 俺の視覚的な解釈 $\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}kexp(-kx)cos(kx)$が$\lim_{+x \to +0}$である時、$1+2+3+4+…$が$-\frac{1}{12}$になる。視覚的には、杉山式のグラフにおいて、$x=0$における$y$軸の値$-\frac{1}{12}$が$x>0$から$0$へと収束するように見える。

ある数学者が$1+2+3+4+…$は$-\frac{1}{12}$と言った時、俺は非常に混乱する。しかし、上記の不確かな図を使用する時、俺は$1+2+3+4+…$が$-\frac{1}{12}$であるのはそれほどおかしくないように思える。$1+2+3+4+…$が$\lim_{+x \to +0}(1exp(-1x)cos(1x)+2exp(-2x)cos(2x)+3exp(-3x)cos(3x)+4exp(-4x)cos(4x)+…)$のとき、$1+2+3+4+…$は$-\frac{1}{12}$である可能性がある。

上記の無限級数では、無限級数におけるそれぞれの数を$kexp(-kx)cos(kx)$の$x=0$における値と解釈することができる可能性がある。その時、その級数は$-\frac{1}{12}$になるかもしれない。一方、級数におけるそれぞれの数を自然数と解釈する時、その級数は無限へと発散する。上記の図では、上記の無限級数は発散する、かつ$-\frac{1}{12}$になるかもしれない。個人的な印象では、上記の級数は収束しているのでなく、直感通りに発散しているように見える。

一般的に、関数はある変数に対して一つの値を取っているように見える。しかし、上記では、x=における値は$∞$と$x>0$から$x=0$への極限値$-\frac{1}{12}$である。つまり、杉山式は$x=0$において二つの値を取っているように見える。

無限級数${1^n+2^n+3^n+4^n+…}$〜$n=2、n=3$〜

 以下では、俺はその他の無限級数$1^n+2^n+3^n+4^n$を提示する。無限級数には、$1^2+2^2+3^2+4^2+…$と$1^3+2^3+3^3+4^3+…$がある。これらのどれもが発散するように思える。けれども、俺が無限級数のそれぞれの項をある関数における$x=0$の値と解釈する時、俺はこの無限級数に対する異なる解釈を獲得する。

${1^2+2^2+3^2+4^2+…}$〜${n=2}$〜

 俺の視覚的な予想 $$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^2exp(-kx√3)cos(kx)=0$$ $$\sum_{k=1}^{∞}k^2exp(-k・0・√3)cos(k・0)=∞$$

 以下では、俺はこの無限級数を$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^2exp(-kx√3)cos(kx)$と解釈する。$1^2+2^2+3^2+4^2+…$は$\lim_{+x \to +0}lim(1^2exp(-1x√3)cos(1x)+2^2exp(-2x√3)cos(2x)+3^2exp(-3x√3)cos(3x)+…)$である。俺はこの数式を杉山の電子場所(電飛)で発見した。そこで、俺はこの数式を杉本式2と便宜的に呼ぶ。

 この級数は$0$になるらしい。見づらいが、$x>0$から$x=0$へにかけて、杉山式2は$0$に近づいていっているように見える。拡大すると、俺は次を獲得する。

上記を見ると、俺は$k$が無限の時、もし俺が$x$を$x>0$から$x=0$へと変化させるならば、俺は杉山式2の値が$0$に収束するように感じる。考え方は上記と同様であるので、省略する。

${1^3+2^3+3^3+3^3+..}$〜${n=3}$〜

 俺の視覚的な予想 $$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^3exp(-kx(1+√2))cos(kx)=\frac{1}{120}$$ $$\sum_{k=1}^{∞}k^3exp(-k・0・(1+√2))cos(k・0)=∞$$

 以下では、俺はこの無限級数を$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^3exp(-kx(1+√2))cos(kx)$と解釈する。$1^3+2^3+3^3+4^3+…$は$\lim_{+x \to +0}(1^3exp(-1x(1+√2))cos(1x)+2^3exp(-2x(1+√2))cos(2x)+3^3exp(-3x(1+√2))cos(3x)+…)$である。俺はこの数式を杉山の電子場所(電飛)で発見した。そこで、俺はこの数式を杉本式3と便宜的に呼ぶ。また、

 この級数は$\frac{1}{120}$になるらしい。見づらいが、$x>0$から$x=0$へにかけて、杉山式3は$\frac{1}{120}$に近づいていっているように見える。拡大すると、俺は次を獲得する。なお、俺は$y=\frac{1}{120}$を導入した。

上記を見ると、俺は$k$が無限の時、もし俺が$x$を$x>0$から$x=0$へと変化させるならば、俺は杉山式3の値が$\frac{1}{120}$に収束するように感じる。また、$0$付近($x$が$0.023$よりも大きい)の杉本式3の値は$y=\frac{1}{120}$に一致する。考え方は上記と同様であるので、省略する。

無限級数${1^n+2^n+3^n+4^n+…}$〜${n=-2、n=-3、n=-4}$〜

 以下では、俺はその他の無限級数$1^n+2^n+3^n+4^n$を提示する。無限級数には、$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}…$と$\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}……$と$\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}……$がある。これらのどれもが発散するように思える。けれども、俺が無限級数のそれぞれの項をある関数における$x=0$の値と解釈する時、俺はこの無限級数に対する異なる解釈を獲得する。同様に、俺は下記の杉本式を使用する。俺は$n$に$n≦-2$の数を代入する。

・${1/1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+…}$〜${n=-2}$〜

 俺の視覚的な予想 $$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^{-2}exp(-kxcot(\frac{π}{-2}))cos(kx)=\frac{π^2}{6}$$ $$\sum_{k=1}^{∞}k^{-2}exp(-k・0・cot(\frac{π}{-2}))cos(k・0)=\frac{π^2}{6}$$

 $n=-2$であるとき、$1^n+2^n+3^n+4^n+…$は$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}…$になる。杉山式によると、$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}…$は$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^{-2}exp(-kxcot(\frac{π}{-2})cos(kx)$である。$k=100$の時、俺は次の図を獲得した。

上記は$0≦n$の時と非常に異なるグラフの形である。俺は$y=\frac{π^2}{6}$を導入する時、俺は次の図を獲得する。

さらに拡大すると、俺は次の図を獲得する。

 俺が$k$を無限に近づけた時、$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^{-2}exp(-kxcot(\frac{π}{-2}))cos(kx)$は$\frac{π^2}{6}$に収束しそうである。ただし、$0≦n$のとき、正確には、$1≦n$の時と異なり、$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^{-2}exp(-kxcot(\frac{π}{-2}))cos(kx)$は$x=0$上で収束している。

それに対して、$0≦n$のとき、正確には、$1≦n$の時では、$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^{-2}exp(-kxcot(\frac{π}{-2}))cos(kx)$はx=0で発散して、$x>0$から$0$への収束値を持った。ここでは、$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^{-2}exp(-kxcot(\frac{π}{-2}))cos(kx)$は$x=0$上での収束値($\frac{π^2}{6}$を持つ一方$x>0$から$0$への収束値を持っていない。

・${1/1^3+1/2^3+1/3^3+1/4^3+…}$〜${n=-3}$〜

 俺の視覚的な予想 $$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^{-3}exp(-kxcot(\frac{π}{-4}))cos(kx)=1.20205…$$ $$\sum_{k=1}^{∞}k^{-3}exp(-k・0・cot(\frac{π}{-4}))cos(k・0)=1.20205…$$

 $n=-3$であるとき、$1^n+2^n+3^n+4^n+…$は$\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}…$になる。杉山式によると、$\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}…$は$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^{-3}exp(-kxcot(\frac{π}{-4}))cos(kx)$である。k=100の時、俺は次の図を獲得した。

上記は$0≦n$の時と非常に異なるグラフの形である。俺は$y=1.20205$を導入する時、俺は次の図を獲得する。

さらに拡大すると、俺は次の図を獲得する。

 俺が$k$を無限に近づけた時、$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^{-3}exp(-kxcot(\frac{π}{-4}))cos(kx)=1.20205…$に収束しそうである。ただし、$0≦n$のとき、正確には、$1≦n$の時と異なり、$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^{-3}exp(-kxcot(\frac{π}{-4}))cos(kx)=1.20205…$は$x=0$上で収束している。

それに対して、$0≦n$のとき、正確には、$1≦n$の時では、$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^{-3}exp(-kxcot(\frac{π}{-4}))cos(kx)$はx=0で発散して、$x>$0$から0$への収束値?を持った。ここでは、$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^{-3}exp(-kxcot(\frac{π}{-4}))cos(kx).$は$x=0$上での収束値($1.20205…$を持つ一方$x>0$から$0$への収束値?を持っていない。

・${n≦-4}$

 以下では、俺は$n≦-4$の時の杉山式を視覚化する。

俺の視覚的な予想 $$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^{-4}exp(-kxcot(\frac{π}{-6}))cos(kx)=\frac{π^4}{90}$$ $$\sum_{k=1}^{∞}k^{-4}exp(-k・0・cot(\frac{π}{-6}))cos(k・0)=\frac{π^4}{90}$$

$y=1$の上の薄い直線が$y=\frac{π^4}{90}$である。俺は上記の図の拡大を省略する。

 俺の視覚的な予想 $$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^{-5}exp(-kxcot(\frac{π}{-8}))cos(kx)=1.03692…$$ $$\sum_{k=1}^{∞}k^{-5}exp(-k・0・cot(\frac{π}{-8}))cos(k・0)=1.03692…$$

$y=1$の上の薄い直線が$y=1.03692$である。俺は上記の図の拡大を省略する。

俺の行為

 以下では、俺は俺の行為をまとめる。数式は杉山に依存する。

・俺の行為1〜視覚化〜

 俺の認識 俺は杉山式を杉山と異なる方法で視覚化した。その結果、俺は無限級数において収束値がx>0からx=0へと近づいて行く様子を獲得した。同時に、俺は無限級数がx=0で感覚通りに発散することも視覚化した。

https://xseek-qm.net/Regularization.htm

 杉山はnを横軸にとり、yを縦軸に取った。そして、彼はnを大きくすると、yが大きなk(項数)において-1/12になることを視覚化した。なお、俺はxを微小な数として取った。

それに対して、俺はxを横軸に取り、yを縦軸に取った。そして、それぞれのnに対して、俺はkを大きくしていった。それぞれのkは一枚のグラフ(図)に対応する。その結果、俺は俺は無限級数において収束値、例えば-1/12がx>0からx=0へと近づいて行く様子を獲得した。同時に、俺は1+2+3+…が感覚通りに発散する視覚化も同じ一枚のグラフの中で獲得した。

杉山の視覚化では、1+2+3+…が無限になり、かつ-1/12になることを視覚化できていない。一方、上記の視覚化では、俺は1+2+3+…が無限になり、かつ-1/12になることを視覚化した。

・俺の行為2〜複素数及び解析接続を用いない〜

 俺の認識 俺は複素数や解析接続を使用せずに、俺はある種の無限級数が特定の値、例えば-1/12を取ることを視覚化することができた。

 1+2+3+…が-1/12になることを証明するためには、複素数や解析接続の考えが必要であるらしい。しかし、俺の図示では、俺は1+2+3+…が-1/12と1+2+3+…が無限になることを直感的に視覚化することができるようになった。つまり、1+2+3+…が無限になるのは、x=0上でのyの値が無限へと大きくなることであり、1+2+3+…が-1/12になるのは、x>0からx=0へとy=-1/12が近づいていくことである。

・俺の行為3〜視覚的な意味づけ及び解釈〜

 俺の認識 俺は杉山氏を視覚的に意味づけして、1+2+3+…が-1/12と1+2+3+…が無限になることを視覚的に解釈した。

 杉山氏のグラフでは、杉山式が-1/12になることのみが視覚化されている。杉本の図示では、杉本は杉本式が-1/12を取ることを確認した。それに対して、俺の図示では、俺は1+2+3+…が-1/12なることと1+2+3+…が無限になることを同時に視覚的に意味づけした。俺は1+2+3+…が-1/12なるのは-1/12がx>0からx=0へと近づいていった結果であると視覚的に解釈した。俺は1+2+3+…が-1/12なるのは無限がx=0で無限大へと発散した結果であると視覚的に解釈した。その結果、俺はx=0での発散x=0での収束値x>0からx=0への収束値を図示の中で視覚的に発見した。

おまけ

・一般化

 俺の視覚的な予想 $n≧1$では、$$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^{n}exp(-kxcot(\frac{π}{2n+2}))cos(kx)$$は収束値(極限値)を持つ。その時、$$\sum_{k=1}^{∞}k^{n}exp(-k・0・cot(\frac{π}{2n+2})))cos(k・0)$$は無限である。 $n≦-2$では、$$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^{n}exp(-kxcot(\frac{π}{2n+2}))cos(kx)$$は収束値(極限値)を持つ。その時、$$\sum_{k=1}^{∞}k^{n}exp(-k・0・cot(\frac{π}{2n+2}))cos(k・0)$$は無限でなく、その収束値(極限値)に一致する

 $-2<n<1$では、$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}k^{n}exp(-kxcot(\frac{π}{2n+2})))cos(kx)$の振る舞いは上記の予想に一致しない。

・無限級数の項の順序の交換

 俺の印象 無限級数の項の順序を変えることは関数それ自体を取り替えることである。

 俺が無限級数の順序を変えるとき、無限級数の値も異なった。一般的には、足す順序を変えると、値が異なるのは奇妙に感じる。しかし、俺が順序の交換を$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}kexp(-kx)cos(kx)$のような関数の交換(取り替え)と考えるとき、この現象はそれほど不思議でない。俺は関数それ自体を取り替えるので、その取り替えに沿って、$x>0$から$x=0$への値も異なるように思える。発散も同様である。例えば、$1+2+3+…$を$1+3+2+…$と交換することは杉本式$\sum_{k=1}^{∞}kexp(-kx)cos(kx)$を別の異なる式(関数和)にすることである。その結果として、$-\frac{1}{12}$が$x>0$から$x=0$へと近づかなくなる。そのため、無限級数は別の収束値を取るようになる。

電飛

 以下では、俺は上記の参考にした電飛を提示する。なお、俺は数式の間違いやグラファーへの打ち間違い、俺の単なる勘違いや間違いの可能性を排除しない。当然のことながら、閲覧者は上記の文章を疑うことができる。繰り返すが、俺は数学について素人である。だから、俺は上記の情報を正しいと断言しない。ここは宗教的な場所であるので、閲覧者は怪しい情報を暇つぶしに楽しんで。

外部電飛

内部電飛

タイトルとURLをコピーしました