無限級数1+2+3+4+…=-1/12の視覚的な解釈について?〜自然数の総和とゼータ関数ζ(-1)〜

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 1+2+3+…は無限であるように感じる。けれども、ある主体がある手法(解析接続?)を用いるとき、1+2+3+4+…は-1/12になるらしい。加えて、この無限級数はゼータ関数と呼ばれる関数に関係するらしい。当然、俺は(学者的なお世辞抜きに)解析接続もゼータ関数も何であるのかを知らない。

以下では、俺は1+2+3+4+…をMacのsoftware Grapherを使用して、この無限級数を解釈するつもりである。結論から言うと、この数式は2つの値のような数を取る。一番目は無限であり、二番目は-1/12である。俺は無限級数を1exp(-1・0)cos(1・0)+2exp(-2・0)cos(2・0)+3exp(-3・0)cos(3・0)+…と解釈する。

俺はこの無限級数をlimΣkexp(-kx)cos(kx)と解釈する。limはx→+0であり、Σの下には、k=1がある。Σの上には、無限記号∞がある。なお、俺はこの数式をSugimotoの電子場所(電飛)で発見した。そこで、俺はこの数式を杉本式と便宜的に呼ぶ。また、自然数の総和をΣkを表現する。Σの下には、k=1がある。Σの上には、無限記号∞がある。

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無限級数1+2+3+4+…=-1/12

 以下では、俺はlimΣkexp(-kx)cos(kx)をグラファーで表現していく。始めに、俺はk=1を視覚化してみよう。画像は「俺作成」である。なお、俺はグラファーによる数式の打ち間違いや機械の故障の可能性がないと断定しない。

 kが1のとき、x=0における杉本式の値は1である。計算は次である。kが1であるとき、杉本式は1exp(-1x)cos(1x)である。次に、俺は0をxに代入する。その時、俺は1exp(-1・0)cos(1・0)を獲得する。exp(0)及びcos(0)は0である。従って、x=0における杉本式の値は1である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和Σkは1=1である。次に、俺はk=2を視覚化してみよう。

 kが2のとき、x=0における値は3である。計算は次である。kが2であるとき、杉本式は1exp(-1x)cos(1x)+2exp(-2x)cos(2x)である。次に、俺は0をxに代入する。その時、俺は1exp(-1・0)cos(1・0)+2exp(-2・0)cos(2・0)を獲得する。exp(0)及びcos(0)は0である。従って、x=0における杉本式の値は1+2=3である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和Σkは1+2=3である。同様に、俺はk=3やk=4を視覚化していく。次に、俺はk=10を取ってみる。俺は次の図を獲得する。

 kが10のとき、x=0における値は55である。計算は次である。kが10であるとき、杉本式は1exp(-1x)cos(1x)+2exp(-2x)cos(2x)+…+10exp(-10x)cos(10x)である。次に、俺は0をxに代入する。その時、俺は1exp(-1・0)cos(1・0)+2exp(-2・0)cos(2・0)…+10exp(-10・0)cos(10・0)を獲得する。exp(0)及びcos(0)は0である。従って、x=0における杉本式の値は1+2+…+10=55である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和Σkは1+2+…+10=55である。

ここで、俺は黄色の楕円に着目する。x>0における楕円の内部には、ある値が存在しているように見える。俺の予想として、もし俺がkを大きくするならば、この楕円の部分が-1/12に近い値になるだろう。次に、俺はk=100を取ってみる。

 kが100のとき、x=0における値は1から100までの自然数の和(5050?)である。俺はその値を観察することはできない。kが100であるとき、杉本式は1exp(-1x)cos(1x)+2exp(-2x)cos(2x)+…+100exp(-100x)cos(100x)である。次に、俺は0をxに代入する。その時、俺は1exp(-1・0)cos(1・0)+2exp(-2・0)cos(2・0)…+100exp(-100・0)cos(100・0)を獲得する。exp(0)及びcos(0)は0である。従って、x=0における杉本式の値は1+2+…+100=5050である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和Σkは1+2+…+100=5050である。

上記をみると、xが0に近い範囲では、杉本式は特定の値を取っているように見える。また、一つの山がある。俺が上記を拡大して、俺は次の図を獲得する。

 x>0における直線をとる値は-1/12であるように感じる。そこで、俺はy=-1/12を導入すると、俺は次を獲得する。

上記の直線はy=-1/12である。x>0における直線をとる値は約-1/12である。数学的な厳密性を捨てて、個人的な印象を提示すると、俺がkを無限にするとき、もし俺がxを正から0へと変化させるならば、その時、lim(x→+0)における杉本式の値は-1/12にもなるように思える。当然、その時、自然数の総和Σkは無限である。k=500も同様である。

 kが無限のとき、x=0における値は自然数の総和∞である。俺はその値を観察することはできない。kが無限であるとき、杉本式は1exp(-1x)cos(1x)+2exp(-2x)cos(2x)+…である。次に、俺は0をxに代入する。その時、俺は1exp(-1・0)cos(1・0)+2exp(-2・0)cos(2・0)…を獲得する。exp(0)及びcos(0)は0である。従って、x=0における杉本式の値は1+2+…=∞である。また、日常的な感覚でも、自然数の総和Σkは1+2+…=∞である。

ただし、kが無限のとき、もし俺が0をxに代入せずに、xを正から0へと変化させるならば、杉本式はlim(x→+0)における杉本式の値は-1/12にもなるように思える。当然、上記の図によると、-1/12を取らない山がある。だから、もしこの山が消失しないならば、たとえ俺がxを正から0へと変化させるとしても、lim(x→+0)における杉本式の値は-1/12にもならないように思える。だから、上記を主張するためには、この山の除去や山の解釈が必要である。

解釈

 直感的には、自然数の総和は無限である。けれども、ある数学者が1+2+3+4+…は-1/12と言った時、俺は非常に混乱する。しかし、上記の不確かな図を使用する時、俺は1+2+3+4+…が-1/12であるのはそれほどおかしくないように思える。

1+2+3+4+…が1+2+3+4+…のとき、1+2+3+4+…は無限∞である。しかし、1+2+3+4+…がlim(1exp(-1x)cos(1x)+2exp(-2x)cos(2x)+3exp(-3x)cos(3x)+4exp(-4x)cos(4x)+…)のとき、1+2+3+4+…は-1/12である。limはx→+0であり、Σの下には、k=1がある。Σの上には、無限記号∞がある。

上記の無限級数では、級数におけるそれぞれの数をkexp(-kx)cos(kx)のx=0における値と解釈することができる。その時、その級数は-1/12になるかもしれない。一方、級数におけるそれぞれの数を自然数を解釈する時、その級数は無限へと発散する。上記の図では、上記の無限級数は発散する、かつ-1/12になるかもしれない。個人的な印象では、上記の級数は収束しているのでなく、直感通りに発散しているように見える。

一般的に、関数はある変数に対して一つの値を取っているように見える。しかし、上記では、x=における値は∞とx>0からx=0への極限値-1/12である。つまり、杉本式はx=0において二つの値を取っているように見える。

無限級数1^n+2^n+3^n+4^n+…〜n=2、n=3〜

 以下では、俺はその他の無限級数1^n+2^n+3^n+4^nを提示する。無限級数には、1^2+2^2+3^2+4^2+…と1^3+2^3+3^3+4^3+…がある。これらのどれもが発散するように思える。けれども、俺が無限級数のそれぞれの項をある関数におけるx=0の値と解釈する時、俺はこの無限級数に対する異なる解釈を獲得する。

1^2+2^2+3^2+3^2+…〜n=2〜

 以下では、俺はこの無限級数をlimΣk^2exp(-kx√3)cos(kx)と解釈する。1^2+2^2+3^2+4^2+…はlim(1^2exp(-1x√3)cos(1x)+2^2exp(-2x√3)cos(2x)+3^2exp(-3x√3)cos(3x)+…)である。limはx→+0であり、Σの下には、k=1がある。Σの上には、無限記号∞がある。なお、俺はこの数式をSugimotoの電子場所(電飛)で発見した。そこで、俺はこの数式を杉本式2と便宜的に呼ぶ。また、1の総和をΣk^2を表現する。Σの下には、k=1がある。Σの上には、無限記号∞がある。k=500の時、杉本式2の図は次である。

 この級数は0になるらしい。見づらいが、x>0からx=0へにかけて、杉本式2は0に近づいていっているように見える。拡大すると、俺は次を獲得する。

上記を見ると、俺はkが無限の時、もし俺がxをx>0からx=0へと変化させるならば、俺は杉本式2の値が0に収束するように感じる。考え方は上記と同様であるので、省略する。

1^3+2^3+3^3+3^3+..〜n=3〜

 以下では、俺はこの無限級数をlimΣk^3exp(-kx(1+√2))cos(kx)と解釈する。1^3+2^3+3^3+4^3+…はlim(1^3exp(-1x(1+√2))cos(1x)+2^3exp(-2x(1+√2))cos(2x)+3^3exp(-3x(1+√2))cos(3x)+…)である。limはx→+0であり、Σの下には、k=1がある。Σの上には、無限記号∞がある。なお、俺はこの数式をSugimotoの電子場所(電飛)で発見した。そこで、俺はこの数式を杉本式3と便宜的に呼ぶ。また、1の総和をΣk^3を表現する。Σの下には、k=1がある。Σの上には、無限記号∞がある。k=500の時、杉本式3の図は次である。

 この級数は1/120になるらしい。見づらいが、x>0からx=0へにかけて、杉本式3は1/120に近づいていっているように見える。拡大すると、俺は次を獲得する。なお、俺はy=1/120を導入した。

上記を見ると、俺はkが無限の時、もし俺がxをx>0からx=0へと変化させるならば、俺は杉本式3の値が1/120に収束するように感じる。また、0付近(xが0.023よりも大きい)の杉本式4の値はy=1/120に一致する。考え方は上記と同様であるので、省略する。

無限級数1^n+2^n+3^n+4^n+…〜n=-2、n=-3、n=-4〜

 以下では、俺はその他の無限級数1^n+2^n+3^n+4^nを提示する。無限級数には、1/1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+…と1/1^3+1/2^3+1/3^3+1/4^3+…と1/1^4+1/2^4+1/3^4+1/4^4+…がある。これらのどれもが発散するように思える。けれども、俺が無限級数のそれぞれの項をある関数におけるx=0の値と解釈する時、俺はこの無限級数に対する異なる解釈を獲得する。同様に、俺は下記の杉本式を使用する。俺はnにn≦-2の数を代入する。

・1/1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+…〜n=-2〜

 n=-2であるとき、1^n+2^n+3^n+4^n+…は1/(1^2)+1/(2^2)+1/(3^2)+1/(4^2)…になる。杉本式によると、1/(1^2)+1/(2^2)+1/(3^2)+1/(4^2)…はlimΣk^-2exp(-kxcot(π/(-2)))cos(kx)である。limはx→+0である。Σの下には、k=1がある。Σの上には、∞がある。k=100の時、俺は次の図を獲得した。

上記は0≦nの時と非常に異なるグラフの形である。俺はy=(π^2)/6を導入する時、俺は次の図を獲得する。

さらに拡大すると、俺は次の図を獲得する。

 俺がkを無限に近づけた時、limΣk^-2exp(-kxcot(π/(-2)))cos(kx)は(π^2)/6に収束しそうである。ただし、0≦nのとき、正確には、1≦nの時と異なり、limΣk^-2exp(-kxcot(π/(-2)))cos(kx)はx=0上で収束している。

それに対して、0≦nのとき、正確には、1≦nの時では、limΣk^nexp(-kxcot(π/(2n+2)))cos(kx)はx=0で発散して、x>0から0への収束値?を持った。ここでは、limΣk^-2exp(-kxcot(π/(-2)))cos(kx)はx=0上での収束値((π^2)/6を持つ一方、x>0から0への収束値?を持っていない。

・1/1^3+1/2^3+1/3^3+1/4^3+…〜n=-3〜

 n=-3であるとき、1^n+2^n+3^n+4^n+…は1/(1^3)+1/(2^3)+1/(3^3)+1/(4^3)…になる。杉本式によると、1/(1^3)+1/(2^3)+1/(3^3)+1/(4^3)…はlimΣk^-3exp(-kxcot(π/(-4)))cos(kx)である。limはx→+0である。Σの下には、k=1がある。Σの上には、∞がある。k=100の時、俺は次の図を獲得した。

上記は0≦nの時と非常に異なるグラフの形である。俺はy=1.20205を導入する時、俺は次の図を獲得する。

さらに拡大すると、俺は次の図を獲得する。

 俺がkを無限に近づけた時、limΣk^-3exp(-kxcot(π/(-4)))cos(kx)は1.20205…に収束しそうである。ただし、0≦nのとき、正確には、1≦nの時と異なり、limΣk^-3exp(-kxcot(π/(-4)))cos(kx)はx=0上で収束している。

それに対して、0≦nのとき、正確には、1≦nの時では、limΣk^nexp(-kxcot(π/(2n+2)))cos(kx)はx=0で発散して、x>0から0への収束値?を持った。ここでは、limΣk^-3exp(-kxcot(π/(-4)))cos(kx)はx=0上での収束値(1.20205…を持つ一方、x>0から0への収束値?を持っていない。

・n≦4

 以下では、俺はn≦4の時の杉本式を視覚化する。

y=1の上の薄い直線がy=(π^4)/90である。俺は上記の図の拡大を省略する。

y=1の上の薄い直線がy=1.03692である。俺は上記の図の拡大を省略する。

杉本式とゼータ関数ζ(s)と上記の視覚的な図示

数学におけるリーマンゼータ関数(リーマンゼータかんすう、: Riemann zeta function)とは、s を複素数、n を自然数とするとき、ζ(s)=Σ1/n^sで表される関数ζ のことである。

https://ja.wikipedia.org/wiki/リーマンゼータ関数

 Σの下には、n=1がある。Σの上には、∞がある。上記はウィキペディアの引用である。当然、俺は上記が何を言っているのかを理解できない。そこで、俺は無限級数1^n+2^n+3^n+4^n+…やlimΣk^nexp(-kxcot(π/(2n+2)))cos(kx)を考えていく。俺はこの自然数の累乗和の呼び方を知らないので、俺は上記のゼータ関数ζ(s)を便宜的に使用する。なお、俺は複素数を知らないので、俺はsを自然数とする。

本来であれば、俺は無限級数1^n+2^n+3^n+4^n+…におけるnを1、2、3、…や0
や-1、-2、-3、…と考えていきたい。しかし、俺が電街を検索したところ、このような表現はあまり見られないように見える。加えて、俺はこの無限級数1^n+2^n+3^n+4^n+…の名前すらしらない。

ζ(0)は1+1+1+1+…であるらしい。ζ(-1)は1+2+3+4+…であるらしい。ζ(-2)は1^2+2^2+3^2+4^2+…であるらしい。ζ(-3)は1^3+2^3+3^3+4^3+…であるらしい。ζ(1)は1+1/2+1/3+1/4+…であるらしい。ζ(2)は1/1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+…であるらしい。ζ(3)は1/1^3+1/2^3+1/3^3+1/4^3+…であるらしい。無限級数1^n+2^n+3^n+4^n+…とゼータ関数ζ(s)では、正と負が逆転しているように
見える。

 以下では、俺は前章までに得られた視覚的な図示を使用して、これらの
無限級数1^n+2^n+3^n+4^n+…とゼータ関数ζ(s)を素人意見で解釈するつもりである。なお、俺は無限級数1^n+2^n+3^n+4^n+…の表示や名前を知らないので、俺はゼータ関数ζ(s)を利用する。俺はlimΣk^nexp(-kxcot(π/(2n+2)))cos(kx)を使用する。

・上記の視覚的な図示解釈

 俺の解釈では、nが-2以下であるときとnが1以上であるときでは、limΣk^nexp(-kxcot(π/(2n+2)))cos(kx)の振る舞いは非常に異なる。nが-2以下では、この杉本式は発散せずに、x=0の上で収束する、かつx>0からx=0への収束値?を持たない)。また、それに対して、nが1以上では、この杉本式は発散して、x=0の上で収束しない、かつx>0からx=0への収束値?を持つ(本当に収束しているのかは不明である)。

ゼータ関数ζ(s)?では、sが2以上であるときとsが-1以下であるときでは、ゼータ関数ζ(s)の振る舞いは非常に異なる。sが2以上では、ゼータ関数ζ(s)は発散せずに、x=0の上で収束する、かつx>0からx=0への収束値?を持たない)。また、それに対して、sが1以下では、ゼータ関数ζ(s)は発散して、x=0の上で収束しない、かつx>0からx=0への収束値?を持つ(本当に収束しているのかは不明である。ただし、上記の図がゼータ関数を表現しているのかは不明である。

杉本式でもゼータ関数ζ(s)でも、n=0やn=-1、s=0やs=1の時の杉本式やゼータ関数ζ(s)の振る舞いは謎である。n=0やs=0では、杉本式でもゼータ関数ζ(s)も発散して、x=0の上で収束しない、かつx>0からx=0への収束値?(-1/2)を持つように見える(本当に収束しているのかは不明である。

n≦-2では、無限級数1^n+2^n+3^n+4^n+…はlimΣk^nexp(-kxcot(π/(2n+2)))cos(kx)のようにx>0から0への極限で表現される必要はない。それに対して、1≦nでは、無限級数1^n+2^n+3^n+4^n+…はlimΣk^nexp(-kxcot(π/(2n+2)))cos(kx)のようにx>0から0への極限で表現される必要がある。ただし、上記で見たように、俺はn≦-2でも、無限級数1^n+2^n+3^n+4^n+…をlimΣk^nexp(-kxcot(π/(2n+2)))cos(kx)のようにx>0から0への極限で統一的に表現することができる。

・用語

 ここでは、俺は以下の用語を便宜的に導入する。limΣk^nexp(-kxcot(π/(2n+2)))cos(kx)がx=0の上で収束する時、俺はその収束値を零上収束値(れいじょう しゅうそくち)と呼ぶ。零上はぜろじょうでも良いかもしれない。limΣk^nexp(-kxcot(π/(2n+2)))cos(kx)がx>0からx=0へと収束する時、俺はその収束値を正収束値、または右収束値と呼ぶ。または、波収束値。x>0からx=0へと収束する場合、収束値という単語が適切であるのかも不明である。寄せ値(正寄せ値)の方が適切であるかもしれない。

nが-2以下では、limΣk^nexp(-kxcot(π/(2n+2)))cos(kx)は零上収束値を持つが、正収束値を持たない。それに対して、nが1以上では、limΣk^nexp(-kxcot(π/(2n+2)))cos(kx)は正収束値を持つが、零上収束値を持たない。

俺は収束値と極限値の違いを理解できなかった。零上収束値零上極限値に近いように思える。

・無限級数1^n+2^n+3^n+4^n+…の零点とゼータ関数ζ(s)の零点

 ゼータ関数ζ(s)には、零点があるらしい。俺は零点が何であるのかを知らなかったので、俺は零点を調べた。すると、零点とは、ゼータ関数ζ(s)=0であるsであるらしい。以下では、俺は上記の図を使用して、俺は杉本式limΣk^nexp(-kxcot(π/(2n+2)))cos(kx)の零点を考えてみる。便宜的に、俺はこの杉本式を杉本(n)を表現する。

例えば、n=2では、杉本式(2)は0であった。しかし、この0は零上収束値でなく、正収束値(正寄せ値)である。同様に、n=4では、杉本式(4)は0であった。しかし、この0は零上収束値でなく、正収束値(正寄せ値)である。基本的に、杉本式(n)が0になるのは、零上収束値でなく、正収束値(正寄せ値)であるように見える。つまり、nが偶数であるとき、杉本式(n)の値が0になるのは、零上収束値でなく、正収束値(正寄せ値)であるように見える。

個人的な憶測では、もし杉本式(n)の値が0であるならば、杉本式(n)の値は正収束値(正寄せ値)である。対偶を取ると、もし杉本式(n)の値が正収束値(正寄せ値)でないならば、x=0における杉本式(n)の値が0でない。同様に、個人的な憶測では、もし杉本式(n)の値が零上収束値であるならば、杉本式(n)の値は0でない。対偶を取ると、もし杉本式(n)の値は0あるならば、杉本式(n)の値が零上収束値でない。もし杉本式(1/2)の値は0あるならば、杉本式(n)の値が零上収束値でない。

・杉本式とゼータ関数ζ(s)

 俺はゼータ関数ζ(s)をうまく理解することができないので、俺は杉本式を無限級数1^n+2^n+3^n+4^n+…に結びつける。俺はlimΣk^nexp(-kxcot(π/(2n+2)))cos(kx)におけるnをsに変える。すると、俺はlimΣk^sexp(-kxcot(π/(2s+2)))cos(kx)を獲得する。俺はこれを杉本式(s)で表現する。

ここで、俺はこの式の意味を考えてみる。俺が杉本式(s)を一種の関数とみなすとき、俺は杉本式(s)をf:s→limΣk^sexp(-kxcot(π/(2s+2)))cos(kx)のようにみなすことができた。つまり、杉本式では、変数sはある関数の正収束値(正寄せ値)に対応する。より正確には、杉本式では、s≧1の時、変数sはある関数和の正収束値(正寄せ値)に対応する。-2≧sの時、変数sはある関数和の零上収束値に対応する。

直感的には、次である。sを実直線とする。sのそれぞれの点には、limΣk^sexp(-kxcot(π/(2s+2)))cos(kx)が対応している。直感的には、s→Σk^sexp(-kxcot(π/(2s+2)))cos(kx)→極限→値(正収束値(正寄せ値)や零上収束)。sが無限個の関数和に対応していて、その関数和のx>0から0への極限?がある値に対応するので、sがその値に対応しているように見える。

一般的に、関数f(x)では、俺はxを代入する時、そのxは二乗されたり、3を食わられたりして、新たな数として排出される。それに対して、杉本式(s)では、sは無限個の関数和に対応づけられた後に、極限されて、特定の値が排出されるように見える。さらに、杉本式(s)では、sはxやx=0、x>0から0への極限を経由して、値を持っている。s→x→値(y)である。このyが杉本式(s)における値に対応する。俺は関数の定義を知らないが、f(x)と杉本式(s)が同じ関数であるようには感じない。

・疑問

 疑問点は次である。杉本式(0)はx=0で正収束値(正寄せ値)を持つのかである。もし杉本式(0)はx=0で正収束値(正寄せ値)を持たないならば、杉本式(0)は発散のみである。ただし、杉本式(0)は-1/2には近づいているように見えた。また、杉本式(s)がx=0では使えない可能性がある。

次には、杉本式(-1)はx=0で正収束値(正寄せ値)を持つのかである。もし杉本式(-1)はx=0で正収束値(正寄せ値)を持たないならば、杉本式(0)は発散のみであるかもしれない。

さらに、杉本式(-1/2)はx=0で正収束値(正寄せ値)を持つのかである。もし杉本式(-1/2)はx=0で正収束値(正寄せ値)を持たないならば、杉本式(0)は発散のみであるかもしれない。または、未知の現象があるかもしれない。個人的な印象では、発散するのか、しないのかは-1≦s≦0あたりに関係する。ただし、-2≦s≦-1、0≦s≦1における杉本式(s)も俺にとっては不明であるように見える。

電飛

 以下では、俺は上記の参考にした電飛を提示する。なお、俺は数式の間違いやグラファーへの打ち間違い、俺の単なる勘違いや間違いの可能性を排除しない。当然のことながら、閲覧者は上記の文章を疑うことができる。繰り返すが、俺は数学について素人である。だから、俺は上記の情報を正しいと断言しない。ここは宗教的な場所であるので、閲覧者は怪しい情報を暇つぶしに楽しんで。

外部電飛

 上記の知恵袋では、ts3という非常に高慢で偉そうな人物が質問者schを「なにを血迷うておるのか、というほかない。たわ言もいい加減にせよ」と侮辱・恫喝している。俺はこの種の侮辱者を本当に嫌う。彼の発言によると、上記の情報は擬似数学であるだろう。特に、俺の上記の情報では、limとΣに関する順序交換に問題がある可能性が高い。ただし、数学能力の不足のために、俺は上記の図の視覚化?が本当に無益であるのかそれ自体を断定する事ができない。俺の霊感では、完全に破棄するのはもったいないように感じた。だから、俺は上記の情報をとりあえず実験科学的に提示した(2022.01.15)。

内部電飛

布施

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