1-1+1-1+…=1/2(グランディ級数)〜 (答えは1でも0でもない)〜

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 無限級数 1 − 1 + 1 − 1 + … は次のように書き表すことができる。Σ(-1)^n。この級数はグランディ級数(グランディきゅうすう、: Grandi’s series)と呼ばれることがある。グランディ級数という名前は、1703年にこの級数に関する議論において重要な貢献をした、イタリアの数学者であり哲学者である神父のルイージ・グイード・グランディ英語版)に因む。グランディ級数は発散級数であり、通常の意味では和を持たない。その一方で、グランディ級数のチェザロ和は 1/2 となる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/グランディ級数

 以下では、俺は上記の級数を視覚化するつもりである。俺は$1-1+1-1+\dots$をMacのsoftware Grapherを使用して、この無限級数を解釈するつもりである。

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1-1+1-1+…=1/2(グランディ級数)

 以下では、俺はグランディ級数を$$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}(-1)^{k-1}exp(-kx)$$と$$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}(-1)^{k-1}exp(-kx)cos(kx)$$の二種類で表示するつもりである。杉山の電子場所(電飛)では、グランディ級数は$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}(-1)^(k-1)exp(-kx)$表示される。

$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}(-1)^{k-1}exp(-kx)$

 俺の視覚的予想 $$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}(-1)^{k-1}exp(-kx)$$ $$\sum_{k=1}^{∞}(-1)^{k-1}exp(-kx)=0, or 1$$

 以下では、俺は$$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}(-1)^{k-1}exp(-kx)$$ をグラファーで表現していく。始めに、俺は$k=1$を視覚化してみよう。画像は「俺作成」である。なお、俺はグラファーによる数式の打ち間違いや機械の故障の可能性がないと断定しない。

 kが1のとき、x=0における杉山式の値は1である。計算は次である。kが1であるとき、杉山式は(-1)^0・exp(-1x)である。次に、俺は0をxに代入する。その時、俺は(-1)^0exp(-1・0)を獲得する。exp(0)は0である。従って、x=0における杉山式の値は1である。また、日常的な感覚でも、1と-1の総和Σkは1=1である。次に、俺はk=2を視覚化してみよう。

 kが2のとき、x=0における値は0である。計算は次である。kが2であるとき、杉山式は(-1)^0・exp(-1x)cos(1x)+(-1)^1・exp(-2x)である。次に、俺は0をxに代入する。その時、俺は(-1)^0・exp(-1・0)+(-1)^1・exp(-2・0)を獲得する。exp(0)は0である。従って、x=0における杉山式の値は1+(-1)=0である。また、日常的な感覚でも、1と-1の総和Σkは1+(-1)=0である。同様に、俺はk=3やk=4を視覚化していく。k=3では、1が得られることが予想される。k=4では、0が得られることが予想される。次に、俺はk=10を取ってみる。俺は次の図を獲得する。

 kが10のとき、x=0における値は0である。計算は次である。kが10であるとき、杉山式は(-1)^0・exp(-1x)+(-1)^1・exp(-2x)+…+(-1)^9・exp(-10x)である。次に、俺は0をxに代入する。その時、俺は(-1)^0・exp(-1・0)+(-1)^1・exp(-2・0)+…+(-1)^9・exp(-10・0)を獲得する。exp(0)は0である。従って、x=0における杉山式の値は1+(-1)+…+(-1)=0である。また、日常的な感覚でも、1と-1の総和Σkは1+(-1)+…+(-1)=0である。

ここで、俺は黄色の楕円に着目する。x>0における楕円の内部には、ある値が存在しているように見える。俺の予想として、もし俺がkを大きくするならば、この楕円の部分が1/2に近い値になるだろう。次に、俺はk=100を取ってみる。

 kが100のとき、x=0における値は1から0である。俺はその値を観察することはできない。kが100であるとき、杉山式は(-1)^0・exp(-1・0)+(-1)^1・exp(-2・0)+…+(-1)^99・exp(-100x)である。次に、俺は0をxに代入する。その時、俺は(-1)^0・exp(-1・0)+(-1)^(1)・exp(-2・0)+…+(-1)^99・exp(-100・0)を獲得する。exp(0)は0である。従って、x=0における杉山式の値は1+(-1)+…+(-1)=0である。また、日常的な感覚でも、1と-1の総和Σkは1+(-1)+…+(-1)=0である。

上記をみると、xが0に近い範囲では、杉山式は特定の値を取っているように見える。また、一つの山がある。俺が上記を拡大して、俺は次の図を獲得する。

 x>0における山がとる値は1/2であるように感じる。数学的な厳密性を捨てて、個人的な印象を提示すると、俺がkを無限にするとき、もし俺がxを正から0へと変化させるならば、その時、lim(x→+0)における杉山式の値は1/2にもなるように思える。当然、その時、1と-1の総和Σkは0、または1である。k=500も同様である。

 kが無限のとき、x=0における値は1と-1の総和である。俺はその値を観察することはできない。kが無限であるとき、杉本式は(-1)^0・exp(-1x)+(-1)^1・exp(-2x)+…である。次に、俺は0をxに代入する。その時、俺は(-1)^0・exp(-1・0)+(-1)^1・exp(-2・0)…を獲得する。exp(0)は0である。従って、x=0における杉山式の値は1+(-1)+…=0、または1である。また、日常的な感覚でも、1と-1の総和Σkは1+(-1)+…=0、または1である。

ただし、kが無限のとき、もし俺が0をxに代入せずに、xを正から0へと変化させるならば、杉山式はlim(x→+0)における杉山式の値は1/2にもなるように思える。

$\lim_{+x \to +0}\sum_{k=1}^{∞}(-1)^{k-1}exp(-kx)cos(kx)$

 省略。考え方は同上である。

電飛

・内部電飛

・外部電飛

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