相対性とガリレイの慣性系変換(ガリレイ変換)

物質の運動
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1章 ガリレイの慣性系変換

目標
 ここでは、俺はガリレイ変換Galilean Transformation)を提示する。

単語
 俺はガリレイ変換をガリレイの慣性系変換と呼ぶ。

現象
 俺が1m/sで歩く。君は3 m/sで歩く。この時、俺の視点では、君は2 m/sで歩いているように見える。ある人間Cは0 m/sで歩く。俺の視点では、その人間Cは逆方向に1 m/sで歩いているように見える。別の人間Dは1 m/sで歩く。このとき、俺の視点では、人間Dは止まっているように見える。

 このように、ある物体の速度は絶対的でなく、相対的である。なお、俺から俺を見ると、俺は常に止まっているように見える。

現象
 俺から俺を見ると、俺は常に止まっているように見える。しかし、もし俺が記憶能力を持つならば、俺は俺自身が実際に何 m歩いたのかを知ることができる。例えば、俺は時刻0における残像のようなものを考える。その残像からの距離を測定すると、俺は移動した距離を測定することができる。ただし、その残像は俺の運動につられて1 m/sで動かないとする。

 例えば、俺が1m/sで歩く。時刻0のとき、俺は物体を逆方向に1m/sで発射する。このとき、俺は物体の位置を原点とする。

2章 定式化

目標
 ここでは、俺はガリレイの慣性系変換を定式化する。

定式化
 俺から見たお宝の位置を$x_{A}$とする。君から見たお宝の位置を$x_{B}$とする。君の速度を$V_{A}$とする。時間を$dt_{A}$とする。

$$x_{B}=x_{A}-V_{A}dt_{A}\tag{2.1}$$
$$t_{A}=t_{B}\tag{2.2}$$

現実例
 俺から見たお宝の位置を10 mとする。君の速度を2 m/sとする。0秒では、君から見たお宝の位置は10 mである。10 m-2 m/s×0=0 m。1秒では、君から見たお宝の位置は8 mである。10 m-2 m/s×1 s=8 m。2秒では、君から見たお宝の位置は6 mである。10 m-2 m/s×2 s=6 m。

定式化
 式(2.1)を時間に関して微分すると、その式は次である。俺から見たお宝の速度を$V_{A}$とする。君からみたお宝の速度を$V_{B}$とする。

$$v_{B}=v_{A}-V_{A}\tag{2.3}$$

現実例
 俺から見たお宝の速度を3 m/sとする。このとき、3 m/s-2 m/s=1 m/s。君からみたお宝の速度は1 m/sである。

定式化
 俺は(2.3)をさらに微分する。すると、俺は次の式を獲得する。俺から見たお宝の加速度を$a_{A}$とする。君からみたお宝の加速度を$a_{B}$とする。

$$a_{B}=a_{A}\tag{2.4}$$

 (2.4)によると、たとえ上記の獲物が加速されるとしても、その加速度は俺から見ても君から見ても等しい。

現実例
 例えば、俺の視点で、俺はお宝を1 m/s加速する。俺から見たお宝の速度は4 m/sである。1 m/s+3 m/s=4 m/s。君から見たお宝の速度は2 m/sである。4 m/s-2 m/s=2 m/s。君からみたお宝の速度は1 m/sであるので、君の視点で、お宝は1 m/s加速された。つまり、俺視点での加速は君視点での加速に等しい。1 m/s=1 m/s。

定式化
 俺から見た質量を$m_{A}$とする。君から見た質量を$m_{B}$とする。俺は$m_{A}=m_{B}$と仮定する。

$$m_{B}a_{B}=m_{A}a_{A}\tag{2.5}$$

 俺は運動方程式を考える。

$$F_{B}=m_{B}a_{B}⇔F_{A}=m_{A}a_{A}\tag{2.6}$$

 この式を解釈すると、俺の視点における運動方程式は君の視点における運動方程式に等しい。つまり、速度や位置は相対的であるが、加速は相対的でない。だから、運動方程式も相対的でない。運動方程式は絶対的である。

現象
 ここで、俺は加速する現実例を考える。俺が存在する。犯人が5 m/sで逃げている。警察が1 m/sで追っている。警察から見ると、犯人の速度は4 m/sである。このままでは、警察は犯人を捕まえられない。だから、警察は加速する。なお、警察から見ると、俺の速度は後ろに1 m/sである。

 今、警察が3 m/s加速した。このとき、君視点での犯人の速度は1 m/sである。つまり、犯人の速度は小さくなった。しかし、俺の視点では、犯人の速度は変わらない。俺の視点では、犯人の速度は5 m/sである。警察が加速しただけである。このように、加速の場合、犯人に対する(2.5)は必ずしも成立しない。なお、警察から見ると、俺は後ろに3 m/s加速した。

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