未定義数は存在するのか?~undefined number~

自作数学
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以下では、筆者は未定義数を便宜的に作る。電算手順(プログラム)には、未定義と言う考えが存在する。この未定義は0と異なる。筆者が予想するのは、未定義と言う考えは数学にも存在する可能性がある。

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1. 未定義数

今、筆者は蛍の位置を表現したい。その蛍は点滅している。彼は光っている蛍を直線の上の(0)の位置に配置する。時間が経過するとき、その蛍はある時刻で発光しない。

このとき、光っていない蛍はどのように表現されるのだろうか?暗闇では、その蛍は視覚的には(0)の位置に存在しないように見える。蛍が光っているときのみ、蛍の位置は(0)と表現されるように思える。

そこで、筆者は未定義数uを考えて、その蛍の位置を表現する。そのとき、例えば、光っていない蛍の位置は(0u)である。光っている蛍の位置は(0)である。uはundefinedのuである。

未定義数の掛け算
 (1)u×uは1である。
 (2)0uは0uである。
 (3)au×bu=bu×au
 (4)c(au+bu)=cau+cbu

u・uや未定義数の二乗u^2は1である。0uは0でなく、0uである。例えば、0u×0uは0である。例えば、2u×3uは3u×2uに等しい。その答えは6である。

例えば、上記の点滅する蛍の表示は0u^tで表現される。tが0のとき、0u^0は0である。tが1であるとき、0u^1は0uである。tが2であるとき、0u^2は0である。tが3であるとき、0u^3はuである。

未定義数の割り算
 (1)1÷u=1/u
 (2)(1/u)×uは1である。
 (3)(1/u)×(1/u)は1である。

例えば、0/u×uは0である。ただし、割り算が未定義数に必要であるのかは不明である。乗法も除法も同じであるように思える。

未定義数の足し算
 (1)au+bu=(a+b)u
 (2)a+bu=a+bu
 (3)au+bu=bu+au
 (4) a+bu=bu+a

例えば、ある蛍が(0u)の位置に存在する。この蛍を右に1u歩移動させたい。この時、0u+1u=1u。 a+bu=a+buの意味は不明である。ある蛍が(0u)の位置に存在する。この蛍を右に1歩移動させたい。この時、0u+1=0u+1。この意味は不明である。

未定義数の引き算
 (1)au-bu=(a-b)u
 (2)a-bu=a-bu

例えば、ある蛍が(0u)の位置に存在する。この蛍を左に1u歩移動させたい。この時、0u-1u=-1u。 a-bu=a-buの意味は不明である。ある蛍が(0u)の位置に存在する。この蛍を左に1歩移動させたい。この時、0u-1=0u-1。この意味は不明である。

未定義数における無限の定義
 (1)∞u=∞u
 (2)∞/u=∞/u

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