Author: Kato Kazuya
Date: 2024. 04. 06
Place: Japanese Archipelago
Language: Japanese language
目的
この文章では、俺は物体の位置を定義する。
１章 物体の位置の定義
目標
この章では、俺は物体の位置を定義する。
定義
物体Aが存在する。このとき、物体Aの位置は次である。
物体Aの位置は物体Aの場所の順序数である。 (1.1)
高次元へと拡張すると、物体Aの位置は物体Aの場所の順序数の組である。3次元では、物体Aの位置は物体Aの場所の3つの順序数の組である。
現実例
例えば、物体Aが存在する。俺から見ると、物体Aの位置は1歩目である。この1歩目が順序数である。君から見ると、物体Aの位置は3歩目であるかもしれない。この3歩目が順序数である。順序数は視点によって変化する。視点は原点である。
3次元では、物体Aが存在する。俺から見ると、物体Aの位置は前1歩目と左2歩目と上3歩目である。君から見ると、物体Aの位置は前3歩目と左4歩目と上5歩目である。
理屈
物体の位置に関する理屈は次である。
もし物体Aが物富を交換しないならば、物体Aの位置は未定義である。 (1.2)
言い換えると、位置を定義するためには、物富の少なくとも1回の交換が必要である。もし物体Aが物富を交換しないならば、どこに物体Aが存在しているのかは不明である。
定式化
俺は位置を定式化する。物体Aが存在する。$x_{A}$を物体Aの位置とする。$\boldsymbol{\vec{x_{A}}}$を物体Aの位置の矢印とする。$n_{A}$を物体Aの位置の順序数とする。このとき、物体Aの位置は次である。
$$x_{A}=n_{A}\tag{1.3}$$
$$\boldsymbol{\vec{x_{A}}}=(n_{A})\tag{1.4}$$
(1.3)が物体の位置である。原点が異なるとき、物体Aの位置の順序数も異なる。(1.4)は成分の表示である。
3次元の場合は次である。$n_{A,x}$を物体Aのx軸方向の位置の順序数とする。$n_{A,y}$を物体Aのy軸方向の位置の順序数とする。$n_{A,z}$を物体Aのz軸方向の位置の順序数とする。
$$\boldsymbol{\vec{x_{A}}}=(n_{A,x},n_{A,y},n_{A,z})\tag{1.5}$$
２章 距離の定義
目標
この章では、俺は物体の距離を定義する。
定義
物体Aが存在する。このとき、物体Aの距離は次である。
物体Aの距離は物体Aの位置変化の長さである。 (2.1)
物体Aの距離は物体Aの位置変化でない。
物体Aの距離は物体Aの位置変化に等しい。 (2.2)
物体Aの距離は物体Aの位置変化でないが、距離の大きさは位置変化の大きさに等しい。
現実例
例えば、物体Aが存在する。俺から見ると、物体Aの位置は1歩目である。俺の位置は0歩目である。位置変化は1歩目ー0歩目=1歩目である。この1歩目が俺から物体Aへの距離「1歩」に等しい。 1歩が1歩目の長さである。
2次元は次である。物体Aが存在する。俺から見ると、物体Aの位置は前1歩目と左1歩目である。前の位置変化は1歩目ー0歩目=1歩目である。この前への1歩目が俺から物体Aへの距離「1歩」に等しい。左の位置変化は1歩目ー0歩目=1歩目である。この左への1歩目が俺から物体Aへの距離「1歩」に等しい。三平方の定理により、距離は√2である。
定式化
俺は距離を定式化する。始めに、俺は1次元の距離を定義する。物体Aの距離を$ds_{ A }$とする。物体Aの位置を$x_{ A,n }$とする。物体Aの位置を$x_{ A,m }$とする。物体Aの位置変化を$dx_{ A,n,m }$とする。
$$ds_{ A }=x_{ A,n }-x_{ A,m }\tag{2.3}$$
$$ds_{ A }=dx_{ A,n,m}\tag{2.4}$$
(2.3)及び(2.4)の等号は距離と位置変化が概念として同じであることを表現しない。それらの等号は物体Aの距離は物体Aの位置変化に等しいことを表現する。なお、dsはdistanceの略である。
3次元の場合は次である。$ds_{ A,x }$を物体Aのx軸方向の距離とする。$ds_{ A,y }$を物体Aのy軸方向の距離とする。$ds_{ A,y }$を物体Aのz軸方向の距離とする。このとき、原点から物体Aへの距離は次である。
$$ds_{ A }=\sqrt{ds_{A,x}^{2}+ds_{A,y}^{2}+ds_{A,z}^{2}}\tag{2.5}$$
定式化
俺は距離による位置の定義を定式化する。$e_{A}$を物体Aの単位距離とする。$\boldsymbol{\vec{e_{A}}}$を物体Aの単位距離とする。$\boldsymbol{\vec{x_{A}}}$を物体Aの位置の矢印とする。$e_{ A,x }$を物体Aのx軸方向の単位距離とする。$e_{ A,y }$を物体Aのy軸方向の単位距離とする。$e_{ A,z }$を物体Aのz軸方向の単位距離とする。
$$x_{ A }=n_{ A }e_{ A }\tag{2.6}$$
$$\boldsymbol{\vec{x_{ A }}}=(n_{ A,x } e_{ A,x },n_{ A,y } e_{ A,y },n_{ A,z } e_{ A,z })\tag{2.7}$$
(2.6)は位置を距離の順序数倍で表現する。左辺は位置であり、右辺は距離である。(2.7)は矢印の成分表示である。
$$e_{ A }=1\tag{2.8}$$
$$e_{ A }=1-0\tag{2.9}$$
(2.8)の1は単位距離である。(2.9)の1-0は位置変化である。1-0は2つの位置の差である。1は距離である。感覚的には、距離1は1歩である。1-0は1歩目と0歩目の差である。
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