座標系について～3次元の直交座標と3次元の極座標～

　Author: Kato Kazuya
Date: 2024. 05. 04
Place: Japanese Archipelago
Language: Japanese language

　この文章では、俺は座標系を定義する。一般的には、座標系は対象の位置を数の組で表現する体系である。俺は3次元の座標系を定義する。なお、ここでは、俺は直交座標を考える。

１章　背景

　座標系を考える前に、俺は位置と場所について考える。位置と場所は互いに似ているが、厳密には、異なる。位置は対象の状態に近く、場所は存在に近い。

　人間の位置は場所で表現される。例えば、ある人間が存在した。その人間の友人が「君はどこにいる」と尋ねるとき、その人間は「市役所」と回答する。この「市役所」が場所である。このとき、この人間の位置は市役所である。もし市役所が存在しないならば、場所の名前が存在しない。このとき、その人間は自分の位置を回答できない。

　つまり、人間の位置を表現するためには、場所が必要である。日常的には、建物が場所それ自体である。そして、場所それ自体は、厳密には、位置でない。なぜなら、たとえ俺らが対象の位置を考えないとしても、建物や場所それ自体は存在している。

　俺が対象の位置を表現するためには、俺は場所を作る必要がある。その後、俺は対象の位置をその場所に対応させる。場所が先であり、位置は後である。この考えに沿って、俺は座標系を導入する。

２章　3次元の座標系

　いきなり、俺は3次元の座標を考える。一般的には、3次元空間における人間の位置は前後と左右、そして上下で表現される。例えば、人間の位置は前に1歩、左に2歩、上に3歩のように表現される。日常的にも、人間の位置は「あの建物の2階」のように表現される。2階が上下であり、建物は前後と左右で表現される。

　1章で考えたように、俺は3次元空間における場所を作る。座標系の場合、俺は建物を立てることはできない。その代わりに、俺は点を立てる。さらに、俺は3つの数を使用して、俺は建物の名前を点に与える。つまり、建物は点であり、建物の名前は3つの数である。

　今、俺は点の名前を考える。俺は[pointal]をある点に対応させる。正と負は[positive] [pointal]と[negative] [pointal]である。順序は[ala] [pointal]である。これらを組み合わせると、[positive] [ala] [pointal]が生じる。日本語では、正な1番点1つ。

　しかし、この表現は不十分である。なぜなら、方向が存在しない。3次元空間には、前後と左右と上下と言う3つの方向が存在する。俺はこの情報を上記の表現に組み込む必要がある。俺は順序を[pointal]の中に組み込み、[alapointal]を作る。左右は[ilapointal]であり、上下は[ulapointal]である。この順序は分割されない。なぜなら、もしその順序が分割されるならば、[pointal]は3次元空間における1点に対応する。別の解釈を使用しない限り、[pointal]はそれぞれの方向の点に対応しない。

　まとめると、次になる。俺は3次元空間の中のある点を取る。俺はその点を[the] [pointal]で表現する。俺はその点の名前を[positive] [ala] [alapointal]と[positive] [ila] [ilapointal]と[positive] [ula] [ulapointal]の組で表現する。日本語では、正な1番1番点1つと正な2番2番点1つと正な3番3番点1つ。数学では、[positive] [ala] と[positive] [ila] と[positive] [ula]の部分が組として表現されている。(+1, +2, +3)。

　なお、点の前の順序を省略する方法は次である。俺はpointの名前を変更する。例えば、前後では、俺は[forbackal]を使用する。左右では、俺は[lefightal]を使用する。上下では、俺は[upownal]を使用する。時刻の場合、俺は[timepointal]を使用する。それぞれはそれぞれの方向の点の名前を表現する。時刻の場合、例えば、[positive] [ala] [timepointal]。

３章　3次元の極座標系

　ここでは、俺は3次元の極座標を考える。一般的には、3次元の極座標では、対象の位置は2つの角度と距離で表現される。例えば、ある戦闘機の位置は「左に30度、上に60度、距離は100 m」である。

　俺はこの3次元の極座標を上記のように表現する。まず、俺は簡単な距離から表現する。それは[positive] [ala][pointal]である。このとき、[pointal]は3次元の空間の中の点それ自体である。実際、この[pointal]は点に重なっている。区別する場合は、[pointal]を[alapointal]とする。

　次に、俺は角度を考える。例えば、俺が 左に30度を指定するとき、その角度の直線の上の点の全てが指定される。だから、俺は[pointal]の代わりに、[lineal]を考える。また、俺は大きさを便宜的に-liと表現する。このとき、[positive] [(1/8π)li] [lineal]が生じる。順序で考える場合、[positive] [(1/4π)la] [lineal]が生じる。

　まとめると、[positive] [(1/8π)li] [lineal]と[positive] [(1/4π)la] [lineal]と[positive] [ala] [pointal]の組が生じる。これは「左に30度、上に60度、距離は1 m」である。