単射と全射

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 俺は単射と全射が何であるのかを理解できない。以下では、俺は単射と全射に対する俺の現時点での認識を提示する。繰り返し述べるが、ここは「宗教site」である。数学を知りたいならば、数学書を読むか、職業数学者に尋ねよ。

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単射

 俺の認識 単射とは、写像ではもしある要素が別の要素と異なるならば、その要素の像は別の要素の像と異なる。

 単射とは、写像ではもしある要素が別の要素に等しくない(一致しない?)ならば、ある要素の像は別の要素の像に等しくない(一致しない?)。ある一次関数が存在して、その関数が比例定数1と切片0を持つ。この時、その関数は単射である。なぜなら、x=x1の時、y=x1である。x=x2の時、y=x2である。もしx1がx2と異なるならば、x1はx2と異なる。だから、y=xは単射である。

次に、定数関数を考える。y=5を考える。x=2の時、y=5である。x=15の時、y=5である。だから、定数関数は単射でない。正弦関数を考える。x=0の時、y=0である。x=πの時、y=0である。だから、y=正弦関数は単射でない。

俺の印象では、弓矢と的を想像する。この時、異なる弓矢が同じ的に刺さっていないのが単射であるように感じる。俺の印象では、俺がy=cとする時、その直線の上に2つ以上のグラフ?の点が存在するならば、それは単射でないように感じる。グラフが左右対称であったり、振動しているとき、その写像は単射でないように感じる。

全射

 俺の認識 単射とは、写像ではbの(像の)逆像が空でない。

 単射とは、写像ではある要素の像がbであるようなある要素が存在する。y=5は全射でない?。なぜなら、yが2であるとき、その値に対応するxが存在しない。y=sinxは全射でない?。なぜなら、yが2であるとき、その値に対応するxが存在しない。y=xは全射である。俺の現時点での印象では、俺がある値をyに代入するとき、xが存在するならば、その写像は全射である。

俺の印象では、弓矢と的を想像する。この時、矢が的の全てに刺さっているのが全射である。ただし、重複があっても良い。なお、俺はyにおける領域?の設定を理解できないので、無視した。俺は全射を変数x(定義域?)の全てをyに移している写像?と勘違いしていた。

y=x^2やy=2^xなどはy<0の部分のxを持たないので、全射でないように感じる。あるグラフがy>0のみを持つ時、y<0の部分に対応するxを持たないので、全射でないように感じる。

その他

全単射

 俺の認識 全単射とは、写像で全射かつ単射である。

標準的単射

 俺の認識 標準的単射とは、単射では部分集合A’におけるある要素が集合Aにおけるその要素に対応する。

 俺が集合Aを実数の集合Rとするとき、俺は上記の単射をy=x(a≦x≦b)と考えるとき、標準的単射は途切れた、または両端aとbを持つy=xであるように感じた。

逆像

定理

 俺の認識 ある写像を考える。もしその写像が全単射であるならば、その写像の逆対応は写像である。もしその逆対応が写像であるならば、その写像は全単射である。

 俺は対応や写像が何であるのかを知らない。日常的には、写像とは、対応である要素の像の数が1つである(ただ一つである)。集合Aとその要素aと集合Bとその要素bを考える。

もしその逆対応が写像であるならば、集合Bのある要素の像は集合Aのある要素である。写像の定義により、集合Bのその要素の像は集合Aのその要素のみである。写像の定義により、集合Aのその要素の像は集合Bのその要素のみである。集合Bのその要素の像が集合Aのその要素であるような集合Bのその要素が存在する。単射の定義により、この写像は単射である。また、その集合Bのその要素の像は集合Aのその要素のみであり、かつ集合Aのその要素の像は集合Bのその要素のみである。集合Bのその要素と集合Aのその要素が一対一に対応しているので?、もし集合Bのある要素が集合Bの別の要素と異なるならば、集合Bのその要素は集合Bの別の要素と異なる。この写像は全単射である。だから、この写像は全単射である?

次に、もしその写像が全単射であるならば、その写像は「もしある要素aが別の要素anと異なるならば、その要素aの像は別の要素anの像と異なる」かつ「ある要素aの像がbであるその要素aが存在する」である。この時、この写像の逆対応は(おそらく)一対一であるので、この逆対応はただ一つの像を持つ。従って、写像の定義により?、この逆対応は写像である。

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