多様体っぽい何かに対する俺の霊感〜多様体の基礎と松本幸夫〜

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 多様体(たようたい、: manifold, : Mannigfaltigkeit)とは、局所的にはユークリッド空間と見なせるような図形や空間(位相空間)のことである。多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。多様体に座標を描くという作業は地球上の地図を作る作業に似ている。地図の上の点は地球上の点に対応し、さらに地面には描かれていない緯線経線を地図に描き込むことによって、地図に描いてある地域の様子が分かりやすくなる。座標の無い地球上の様子は、人間が作った座標のある地図と対応させることによって非常に把握しやすくなる。地球はであり、世界地図を一枚の平面的な地図におさめようとすれば、南極大陸が肥大化したり、地図の端の方では一枚の地図の中に(連続性を表現するために)同じ地点が複数描き込まれたりする。世界地図をいくつかの小さな地図に分割すると、こういった奇妙なことはある程度回避できる。例えば、北極を中心とした地図、南極を中心とした地図、ハワイを中心とした地図、ガーナを中心とした地図…… などのように分割できる。そして隣り合った地図の繋がりをそれぞれの地図に同じ地域を含めることで表現すればよい。こうすることによって異なる地図同士では重複する部分が出てきてしまうものの、一枚の地図の中に同じ地域が 2 箇所以上描かれることをなくすことはできる

https://ja.wikipedia.org/wiki/多様体

 俺は上記の説明を理解できなかった。以下では、俺は多様体に対する俺の感覚を提示するつもりである。もし君が正確な情報を知りたいならば、君は教科書の購入や大学への入学を実行せよ。

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多様体?

平面における二枚の円盤

 平面における二枚の円盤:xy座標系が描かれた円盤a及び円盤bを二枚用意する。この時、俺らは円盤aの縁を円盤bのx軸に重ね合わせることができない。

 xy座標系が描かれた円盤a及び円盤bを二枚用意する。この時、俺らは円盤aの縁(円周)を円盤bのx軸に重ね合わせることができない。なお、円盤の半径を1と便宜的に置く。

上記の画像がその様子である。下の円盤aの縁(円周)の部分は円盤bのx軸に重なり合っていない。この状態は当然であるように感じる。けれども、俺らが球面の上の円盤a及び円盤bを考える時、俺らは上記の円盤a及び円盤bの状態が必ずしも維持されるとは限らない。

球面における二枚の円盤

 球面における二枚の円盤:円盤aのx軸を地球表面の赤道に重ねる。円盤bのx軸を円盤aの縁(円周)になっている緯線に重ねる。球面では、円盤aの縁(円周)が円盤bのx軸に重なりあう。

 円盤aのx軸を地球表面の赤道に重ねる。円盤bのx軸を円盤aの縁(円周)になっている緯線に重ねる。球面では、円盤aの縁(円周)が円盤bのx軸に重なりあう。

上記の平面の場合、俺らは円盤aの縁を円盤bのx軸に重ね合わせることができなかった。しかし、球面では、俺らは俺らは円盤aの縁を円盤bのx軸に重ね合わせることができた。平面と球面では、円盤aと円盤bの重なり方が互いに異なることがわかった。

この時、俺らはある空間の上の円盤たちの重なり方を調べることができるならば、その時、俺らはその空間の性質も知ることができるかもしれないと期待する。なぜなら、空間の性質(情報)は円盤たちの重なり方に現れている。

多様体的な考え?

 多様体的な考え?:俺らは空間の上に貼られた円盤たち(座標たち)の貼り合わせ方を調べることができるならば、その時、俺らは空間の性質を円盤たち(座標たち)の貼り合わせ方から知ることができる。

 俺らは空間の上に貼られた円盤たち(座標たち)の貼り合わせ方を調べることができるならば、その時、俺らは空間の性質を円盤たち(座標たち)の貼り合わせ方から知ることができる。上記では、多様体の定義には、局所的にはユークリッド空間であることが必要であった。なぜなら、局所的にはユークリッド空間であるとき、俺らは円盤たち(座標たち)に貼ることができる。

空間に貼られた円盤たち(座標たち)の貼り合わせ方が空間の性質を表している。だから、俺らがその貼り合わせ方を調べることができるならば、その時、俺らは空間の性質も間接的に調べることができる。個人的な印象では、これが多様体的な考え方であるように感じた。

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