実数の個数は自然数の個数よりも多いのか?〜カントールの対角線論法〜

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 実数の個数は有理数の個数よりも多いらしい。そして、その証明には、カントールの対角線論法が使用されているらしい。当然、俺はその証明を理解できない。

けれども、俺は実数の個数は自然数の個数よりも多いことを疑っている。以下では、俺は実数の個数は自然数の個数よりも多いのかに対する俺の現時点での認識を提示するつもりである。

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有理数の個数

有理数の個数

 俺が有理数の個数と自然数の個数を考える時、俺は有理数を平面の上に格子点の上にうまく並べる。その後、俺はその並べられた有理数に自然数を対応させていく。例えば、俺は自然数を有理数にぐるぐる円のようにふっていく。または、俺は自然数を有理数に斜めにふっていく。

この時、俺は有理数の個数と自然数の個数が一対一に対応すると感じる。有理数の個数と自然数の個数が一対一に対応する時、俺は有理数の個数と自然数の個数は互いに等しいと約束する。この時、有理数の個数は自然数の個数に等しいらしい。

俺が有理数をうまく並べると、自然数との対応がつくので、有理数の個数と自然数の個数は互いに等しいらしい。特に、俺が有理数を一次元的に並べることができるとき、俺はその並べられた有理数に自然数を一対一に対応させていくことができる。例えば、もし俺が有理数を格子状に並べることができるならば、その時、自然数を円を描くように対応させていくことができる。

実数の個数

実数の個数

 上記と同様に、俺は自然数を有理数に対応させたい。当然、俺は実数の並べ方をうまく取って、自然数がその並べられた実数に対応するように並べたい。今、俺は平面を考える。x軸が自然数である。y軸が1/10^nである。nは少数第n位である。

次に、俺は(0, 1]を考える。俺は自然数をこの区間における実数に対応させる。俺は1に自然数1をふる。次に、俺は自然数をy=1における1/10と2/10と3/10と4/10と5/10と6/10と7/10と8/10と9/10と10/10にふる。ただし、10/10は1であるので、すでにふられている。

同様に、俺は自然数をy=2における1/100と2/100と3/100と4/100と5/100と6/100と7/100と8/100と9/100と10/100と11/100と…99/100と100/100にふる。ただし、100/100は1であるので、すでにふられている。この操作を繰り返すとき、俺は自然数を有理数にふっていくことができるように感じる。けれども、俺は自然数を1/10^nのnが無限にありそうな無理数にいつまでたっても振ることができないように感じる。

俺の印象

 俺の印象 俺は実数をうまく並べることができないので、自然数を実数にうまくふっていくことができない。その結果、実数の個数と自然数の個数が異なっているように感じる。

 上記が俺の印象である。もし俺が実数を有理数のように並べることができるならば、俺は自然数を実数にうまくふっていくことができるように感じる。その時、自然数と実数が一対一に対応して、自然数の個数と実数の個数が同じになるように感じる。

(0, 1]における一つの無理数(例えば、0.41421356…)を考える。さらに、俺は自然数をy軸方向へと4/10→1/100→4/100…のようにふっていく。一つの無理数(例えば、0.41421356…)を埋めつくすのに、自然数全体の集合Nが一つ必要になってしまう。

俺が(0, 1]における無理数の全てを埋め尽くすためには、俺は10^n(n→無限)の自然数全体の集合Nを必要とするように思える。俺らが自然数全体の集合Nを10^n(n→無限)用意する。そして、俺がそれぞれの無理数に(N1, N2, N3. .., Nn, …)のように同時にふっていくと、(0, 1]における無理数、または(0, 1]における実数を埋め尽くすことができるように思える。(0, 1]を(0, N]へと一般化すると、((N1, N2, N3. .., Nn, …), (N1, N2, N3. .., Nn, …), (N1, N2, N3. .., Nn, …), ….)のようになる。

元気

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